Despropòsits: temps, dimensions, cintes, música...

Hores d'ara moltes persones ja estan vivint les primeres hores del 2011; d'altres, continuaran vivint en el 1432, en el 5771 o en qualsevol altre any enter positiu (Calendar Converter). Segurament faria bé de complir alguns dels compromisos que he anat posposant en aquest bloc (deixar parlar a John Nash, comentar la llei d'Hondt, parlar de l'etern retorn...) en lloc de dedicar aquest escrit a encadenar despropòsits. Aquest any, m'hagués agradat arribar a l'article seixanta per tal de fer un homenatge a les matemàtiques antigues (sistema sexagesimal) i aclarir, a alguns cervells batxillers i poc crítics, que és més fàcil d'explicar la mesura dels angles en radians (o radiants) que no pas perquè una hora té seixanta minuts, perquè encara comprem els ous per dotzenes, perquè l'any comercial té 360 dies o perquè fer un gir de 180º —que no de 360º, com una vegada vaig sentir dir a un futbolista— equival a un canvi radical en una situació. Com que aquesta és l'entrada 58 del bloc, ho deixaré tot per a una altra ocasió i em permetré desvariejar una mica.

En l'actualitat tenim una idea força lineal del temps (time que no weather, d'altres idiomes tenen més clara la distinció) i els físics es permeten parlar de la fletxa del temps. Sigui el que sigui el temps, sembla que avança inexorablement (o hauríem de dir termodinàmicament?). ¿Però com ens atrevim a parlar del temps si la majoria de mortals no tenen clar quantes cares o dimensions té un full de paper? La cinta o banda de Möbius és dels pocs objectes matemàtics, i estem parlant de topologia!, que tenen l'èxit assegurat a les aules de secundària. La seva construcció és ben senzilla, només ens cal una tira de paper i unir-ne els extrems fent mig gir en un d'ells, i és fàcil posar de manifest les seves sorprenents propietats: entre d'altres, és una cinta d'una sola cara i no és orientable (damunt de la cinta no té cap sentit parlar de dreta i esquerra). Només necessitem la cinta, un llapis i tisores:

---

Addenda del 15 d'octubre de 2011

Si heu clicat damunt del vídeo anterior, haureu comprovat que ja no està disponible per una reclamació de drets d'autor (el seu link era http://www.youtube.com/v/JHSfKwhSOos). Com que no hi ha mal que per bé no vingui, m'he posat a cercar vídeos disponibles de contingut equivalent i us en recomano dos:

• La Banda de Möbius comentada en català en el programa de divulgació de Televisió de Catalunya Quèquicom.

• Banda de Moebius que té una factura semblant al vídeo que originalment vaig enllaçar a aquesta entrada.

---

Si preferiu les tontes serpentines que es tiraran aquesta nit a la cinta de Möbius, us comprenc, però vigileu que no acabeu tan desorientats com les pobres formigues que va dibuixar M. C. Escher mentre us pregunteu aquesta matinada: i si l'Univers i el temps són unes immenses cintes de Möbius?

Parlant d'aquesta cinta i com que no m'agradaria acabar l'any sense música... No patiu que no seran valsos, ara que resulta que els concerts de valsos d'Any Nou ja són "tradicionals", fins i tot, a Matadepera!

He descobert aquest excel·lent vídeo en el recomanable bloc de matemàtiques Juan de Mairena.

Ah! i si no us podeu estar de fer propòsits i desitjos per al nou any, si us plau, que no siguin ni tres ni deu i, millor, deixeu-ho per un altre dia.

Falses demostracions: som competents utilitzant l'àlgebra?

Una coneguda anècdota, no sabem si certa o inventada i amb diverses variants, explica que algú li va preguntar al filòsof i matemàtic Bertrand Russell (veieu també Bertrand Russell a MacTutor) si, a partir d'una falsedat com 2 + 2 = 5, podia demostrar qualsevol cosa. Sir Russell, segons aquesta història, va provar, amb 2 + 2 = 5 com a premissa, que ell era el Papa de Roma (demostració de la "Papabilitat" de Russell). Aquest article tracta de demostracions matemàtiques falses i de la falsa seguretat que tenen molt estudiants utilitzant l'àlgebra. Cal, per començar, un aclariment semàntic: la paraula àlgebra i els seus derivats han esdevingut tan polisèmics (àlgebra abstracta, àlgebra lineal, topologia algebraica...) que haurem de començar dient que aquí tractarem de l'àlgebra elemental (de l'àlgebra d'Al-Khwarízmi, si voleu).

Per molt que els professors de secundària s'esforcin en explicar els fonaments del llenguatge i les equacions algebraiques, els alumnes, i els científics!, acaben aplicant allò de "si està sumant, passa restant" i "si està multiplicant, passa dividint" (com si els termes de les equacions tinguessin la imperiosa necessitat, pròpia dels ciutadans dels països desenvolupats, d'anar de viatge). Fins i tot, operant de maneres més ortodoxes hi ha perills evidents. Comproveu-ho amb la següent demostració de 1 = 2 o de 2 = 1 (si apliquem la propietat commutativa, o és la reflexiva?):

Trobar l'equivocació, no us hauria de costar: és la més comuna en les demostracions algebraiques errònies.

En el següent exemple, l'origen de la falsedat és més subtil. Demostrarem que π = 3:

Podeu veure l'exemple anterior en la seva salsa digital original (aquí) o primigènia (allà). Si us ha cridat l'atenció l'encapçalament de la imatge anterior, 1 Kings 7:23, fa referència al versicle del bíblic 1r Llibre dels Reis que, de vegades, s'utilitza per afirmar que els antics hebreus creien que π era igual a 3. Aquesta polèmica és divertida perquè enfronta encesos fonamentalistes bíblics amb encesos ateus recalcitrants (amb més d'un matemàtic irònic que en parla de passada), podeu consultar:

• La peor aproximación histórica de Pi de Javier Vidal Postigo
• Aproximación de Pi en la Bíblia a Gaussianos 

Us estalvio les fonts més fonamentalistes, però pareu atenció als comentaris dels enllaços.

Tornant a les dues falses demostracions, no podreu dir que sabeu àlgebra elemental si no hi detecteu cap pas erroni. Penseu que en d'altres camps de les matemàtiques, localitzar les falsedats es fa més difícil. Consulteu, per exemple, la demostració de π = 4 que he conegut gràcies, una altra vegada, a un article de Gaussianos.

Felicitacions? matemàtiques o no?

Segurament, les felicitacions, els bons desitjos i els copets a l'esquena ens són més necessaris el mes de febrer o d'octubre que no pas ara; però les societats, nòmades o sedentàries, sincronitzen el ritme de la tribu amb festes, lunars o solars, com les d'aquests dies. Dit això, sense ànim d'esmenar la plana a antropòlegs o sociòlegs, em veig en l'obligació de dedicar aquest escrit a les felicitacions nadalenques si no vull ser condemnat a l'ostracisme (que no té res a veure amb avorrir-se com una ostra).

El títol ja m'ha presentat una primera dificultat, podia optar per: (1) Felicitacions matemàtiques, (2) Felicitacions o no?, (3) Felicitacions matemàtiques, o no?... i així fins a (n). Finalment he optat per Felicitacions? matemàtiques o no?, però em queda el dubte de si l'hauria d'omplir de comes degut a les el·lipsis. Mal solucionat el tema del títol, he passat al contingut i he recordat un article de Màrius Serra publicat a La Vanguàrdia el 28 de desembre del 2006! (fixeu-vos si m'ha portat maldecaps escriure aquestes línies). El títol, Romperse la Christma, s'escau d'allò més a les meves cavil·lacions. Com que l'altra vegada que vaig inserir un article de Màrius Serra (El càlcul de la data de Diumenge de Pasqua) vaig estar una mica agre amb l'escriptor, ara que em ve a salvar, no em puc estar de facilitar-vos-en la lectura (no cal que agafeu una lupa i l'acosteu a la pantalla, feu clic damunt de la imatge):

Pensant, pensant... I si aquest any que ens ha deixat B. Mandelbrot, li retem un homenatge amb una felicitació fractal? Un triangle de Sierpinski (veieu també Waclaw Sierpinski) se sembla bastant a un arbre de Nadal. De fet, curiosament també l'any 2006, a l'IES Barres i Ones van fer un arbre de Nadal basat en la piràmide o tetraedre de Sierpinski (l'arbre de Barres i Ones). Podria agafar una imatge d'alguna de les fases (el procés total de construcció és infinit) del triangle o de la piràmide de Sierpinski, personalitzar-la i ja està...

I què hi poso? Unes acolorides lletres dient Bon Nadal i Bones Festes? Quina mandra!I si optem per una felicitació que ens proporcioni l'oportunitat de fer una mica de matemàtiques? Ignasi del Blanco idea uns jocs numèrics interessants (veieu jocs numèrics amb l'Scratch i consulteu Scratch si la paraula només us sona a onomatopeia o a un substantiu, verb o adjectiu anglès) i aquest any el Creamat felicita les festes amb un joc d'aquest professor que m'ha semblat enginyós i excel·lent:

No cal dir que la imatge anterior és una maldestra adaptació meva que espero que del Blanco sàpiga perdonar-me i no me la demandi (en el web del Creamat hi teniu, hores d'ara, una versió interactiva). Us recomano que penseu abans de començar a fer combinacions numèriques amb els dígits que us permeten (3, 4, 5, 6, 7, 8, i 9) i m'estic de donar la solució (elis, elis, jo ja l'he trobada!) per evitar que la consulteu abans d'haver reflexionat una bona estona.

I com diria l'Excel·lentíssim Joan Pich i Pon: Moltes Facilitats!

Les noves tecnologies es rebel·len

Aquesta vegada els dubtes no han aparegut a l'hora de redactar els continguts, sinó en l'encapçalament de l'article (quin havia de ser el títol?) i en un detall tan accessori com la data de publicació. Anem pel títol: hem de dir noves tecnologies, no tan noves tecnologies, tecnologies digitals (sempre hi ha algú que assenyala posant el dit a la pantalla encara que aquesta no sigui tàctil)? N'hi ha que en deia TIC (tecnologies de la informació i la comunicació) i ara se n'adona que en diuen TAC (tecnologies de l'aprenentatge i el coneixement). Aquell acudit dolent de "con lo que me ha costado decir pilícola y ahora lo llaman flim" s'ha transformat en jocs de paraules amb tic-tac. Per altra banda, les noves tecnologies es rebel·len, ens ataquen, ens vénen a salvar? De totes maneres i a propòsit del vídeo que veureu: quan projectem en una pantalla (que per altra banda acostuma a inutilitzar bona part d'una pissarra) no li estem fent un homenatge a Plató i a les ombres projectades en el Mite de la Caverna?

En quan a la data de publicació: la més escaient és un u d'abril (April Fools' Day o Dia d'enganyar), un més nostrat vint-i-vuit de desembre (Dia dels innocents) o ja està bé un onze del dotze del deu?  Insertant aquest vídeo no estaré fent publicitat encoberta de Biola University i hauran d'aplicar numerus clausus el curs vinent davant l'allau d'alumnes? Com que tenir dubtes no és modern, us deixo amb el document gràfic:

Votacions i sistemes electorals

Ha passat una mica més d'una setmana de les darreres eleccions al Parlament de Catalunya —aquesta vegada, a part del dret a votar, he exercit el deure d'estar darrera d'una mesa electoral— i, fa més temps encara, que tenia previst dedicar algunes entrades d'aquest bloc a les votacions i als sistemes electorals. He anat ajornant la redacció del present article, però aquest matí llegint La Vanguardia m'he trobat amb una columna d'opinió del periodista Toni Coromina (si feu clic veureu la seva biografia a Viquipèdia, ara mateix apareix com periodista i activista cultural o contracultural (sic)) que m'ha animat a posar-m'hi.

Durant una temporada em vaig dedicar a retallar i desar els articles periodístics que contenien bestieses relacionades amb les matemàtiques, amb d'altres ciències o que ofenien aquest bé escàs anomenat "sentit comú". Davant del perill de morir ofegat pels papers, que augmentaven exponencialment, o de ser acusat de patir la síndrome de Diògenes, vaig desistir. Ho explico perquè el fet que comenti l'article de Toni Coromina aparegut a La Vanguardia d'avui, 7 de desembre, en la secció Vivir — si no en sou lectors i us estranya el nom, n'hi ha una altra amb l'encapçalament, polivalent i buit de significat, de Tendencias— és totalment accidental. Podríem trobar d'altres aportacions periodístiques parlant dels sistemes electorals amb la mateixa falta de fonaments, de raonament i de reflexió, defensant les mateixes coses o just les contràries.

El títol de la columna de Coromina és El mal menor i fa referència a la democràcia (en realitat al sistema electoral que només és un medi). Suposo que es vol inspirar en la famosa frase de Winston Churchill: La democràcia és la pitjor forma de govern, excepte totes les altres formes que s'han provat fins el moment (Casa dels Comuns, 1947). Coromina ens diu que ¡Lástima que no sea el bien mayor! i, més tard, hi afegeix textualment: Para que el mal menor deje de serlo, habría que mejorar el sistema D'Hont, elaborar una nueva ley electoral, establecer el voto a listas abiertas (...). Com és habitual en el periodisme d'aquest país, Coromina creu, amb seguretat i convenciment, que té la solució a tots els problemes de la democràcia, però no ens raona res. Si hagués sentit parlar de l'economista nord-americà Kenneth Joseph Arrow o si s'hagués informat dels diferents sistemes electorals i de les seves paradoxes, sabria que en aquest camp no existeix cap mètode òptim.

Kenneth Joseph Arrow

 El Teorema d'Impossibilitat d'Arrow, també conegut com a Paradoxa d'Arrow, ho demostra (si no us espanta el llenguatge matemàtic i la seva simbologia, vegeu Democracia y el Teorema de Imposibilidad de Arrow de José A. Moreno Pérez). La qual cosa no vol dir que un determinat sistema electoral no sigui millorable en alguns aspectes, però primer ens hauríem de posar d'acord en quines condicions volem que compleixi en detriment d'altres condicions, igualment "justes" o millor racionals, però incompatibles. M'indigna que quan algun polític o periodista proposa canvis en les lleis electorals els defensi embolicat en el mantell de la justícia (quan la majoria de les vegades se'ls hi veu el llautó). El matemàtic i divulgador John Allen Paulos també parla de mantells en el capítol dedicat als sistemes de votació en el seu llibre Más allá de los números, cito textualment:

"El mandato moral de ser demócrata es formal y esquemático. La cuestión de fondo es cómo deberíamos ser demócratas y el enfocar esta cuestión con una actitud experimental abierta es perfectamente compatible con un firme compromiso con la democracia. A los políticos que, beneficiándose de un sistema electoral particular y limitado, se envuelven con el manto de la democracia, hay que recordarles de vez en cuando que este manto se puede presentar en varios estilos, todos ellos con remiendos."

Dit això i tornant a  El mal menor, Coromina proposa com a gran solució les llistes obertes. Dono una demostració per contraexemple, inacabada perquè la continuació és trivial, que les llistes obertes per se no solucionen res:

Teorema. Les llistes obertes milloren la representativitat, eficàcia i funcionament de les institucions democràtiques.
Contraexemple. El Senat Espanyol s'escull mitjançant llistes obertes i el Parlament, amb llistes tancades... 

Prometo que el proper article dedicat a aquest tema, parlarà només de sistemes electorals, en particular de la Regla d'Hondt, i ja no farà referència a vedettes mediàtiques o polítiques.

La lògica i el currículum (II)

Vaig començar a parlar de la absència  de continguts de lògica en el currículum educatiu de casa nostra en La lògica i el currículum (I). Mantinc el títol en aquest nou escrit, tot i que no penso insistir en l'il·lògic —mai millor dit— desplegament curricular que patim (ja parlaré d'altres mancances i incoherències en d'altres entrades); més aviat, comentaré alguna experiència anecdòtica a l'aula que, ja ho explicaré, té un rerefons teòric interessant.

Dels anomenats connectors lògics (i, o, no, si...), el que genera més confusions i errades és el si condicional. En algun llibre de divulgació matemàtica, sento no recordar quin, vaig llegir una adaptació de la següent qüestió, de moment en direm Problema de les quatre targetes, que vaig plantejar als alumnes d'una classe de batxillerat (dels que s'autoanomenen científics i tecnològics):

Problema de les quatre targetes
Tenim quatre targetes. Cadascuna té una lletra en una cara i un nombre a l'altra. Si ens mostren la disposició de targetes de la imatge que apareix a sota, quina o quines targetes hem de girar per comprovar la veracitat (cert o fals?) de l'enunciat condicional "Si en una targeta hi ha una vocal en una cara, hi ha un nombre parell en l'altra".

De fet, la disposició de les targetes i la pregunta que vaig proposar no era exactament aquesta, però el nivell d'abstracció i el fons de la qüestió plantejada era semblant. Si us plau, penseu la resposta abans de consultar la solució.

Solució del problema de les quatre targetes

(+/- Mostra/Oculta)

Hem de girar la targeta A per comprovar si darrera hi ha un nombre parell i també cal tombar el tres per veure si darrera hi ha, o no, una vocal. Tot i que quan es planteja l'experiència aïlladament, els alumnes són prou llestos per pensar que la pregunta "té trampa", la majoria opten per dir que s'ha de girar la A i el 2. Sembla que si es deixa obert el nombre de targetes que es poden girar, hi ha persones que responen alegrement que només cal girar la A. Em va resultar divertit i desesperant alhora que, després d'una detallada explicació, hi havia encara alumnes que s'havien equivocat i persistien en intentar demostrar que la seva resposta era la correcta.

La qüestió anterior és una de les possibles maneres de presentar la tasca de selecció de Wason. S'anomena així perquè va ser ideada pel psicòleg anglès Peter Cathcart Wason. La interpretació d'aquesta prova és objecte de controvèrsia: algunes hipòtesis sostenen que allò que queda en entredit no és el raonament lògic, sinó la mala interpretació de la pregunta que es fa. No vull esmenar la plana als brillants psicòlegs cognitius que proposen aquestes hipòtesis, però diria que uns rudiments de lògica teòrica ajudarien a no errar en problemes com aquest o, si més no, farien més fàcil explicar quina és la resposta correcta a aquells que s'equivoquen. Sigui com sigui, les respostes errónies de persones que en un futur es poden dedicar a dissenyar i interpretar experiments, ens haurien d'alertar.

Si voleu saber-ne més, podeu consultar en línia:

• Las cuatro tarjetas y el razonamiento humano de Miguel López Astorga. D'aquest breu document he tret la imatge de les targetes que apareix més amunt. Hi trobareu una explicació més detallada de la solució correcta i referència de les diferents interpretacions.

• Tarea de selección de Wason: Un estudio de las diferencias individuales de Ma Dolores Valiña García et al. Un estudi feixuc amb un aparell estadístic interessant perquè li donin una ullada els futurs estudiants de psicologia reticents als continguts matemàtics (d'aquells que es pensen que la psicologia és lògicament equivalent a les converses terapèutiques).

• Razonamiento deductivo (III). Razonamiento proposicional de Concepción Paredes Olay. Suposo que és una presentació que aquesta professora de psicologia passa a classe, però és un resum que conté informació interessant. En particular, la següent imatge (torta d'origen) , que he capturat d'aquest text, permet veure una versió abstracta i una versió concreta o contextualitzada de la tasca de selecció de Wason:

Evidentment, es tracta d'esbrinar quines targetes s'han de girar per verificar la proposició condicional. Com que els humans no pensem com els ordinadors, sembla que el context té a veure amb el percentatge de encerts.

Per acabar i com que fa dies que no surten gats en aquest bloc:

Demostració de l'existència d'un gat invisible
Material: només necessitem una cadira buida (si hi ha algun objecte damunt la cadira, el gat se sentiria incòmode)

Si hi hagués un gat invisible damunt de la cadira, jo no el veuria.
No veig res damunt de la cadira.
Per tant, damunt de la cadira,  s'hi està un gat invisible.

Notes:
1. Si disposem d'una altra cadira, podem demostrar l'existència d'un altre gat invisible. Si algú prefereix els unicorns roses, es pot modificar lleugerament el mètode de demostració.
2. No sé d'on vaig treure la demostració, no és meva. En tinc una versió escrita en castellà de fa uns quants anys que vaig afegir com a peu en un examen. Infructuosament, n'he cercat la procedència.
3. Quan l'enuncio a classe veig cares de sorpresa o persones que diuen indignades que els gats invisibles no existeixen. Ningú mai m'ha replicat fent-me notar l'errada en el raonament lògic.

Les matemàtiques en el cinema

Després de tornar-me a empassar la pel·lícula i cercant informació per redactar el segon article dedicat a A Beautiful Mind de Ron Howard (John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)), em vaig trobar —avantatges de navegar sense rumb— amb diferents escrits del professor Alfonso Jesús Población Sáez dedicats a analitzar la presència de les matemàtiques en els guions cinematogràfics. Ja vaig comentar que em semblava que la seva obra es mereixia una entrada i aquí la teniu.

Començo amb un llibre que encara no he llegit; però, els extractes i ressenyes que he consultat em permeten intuir que és interessant per a tots els aficionats a les matemàtiques (si feu clic a la imatge de la portada, en podeu veure una crítica i  també podeu donar una ullada a una ressenya de la RSME).

 Títol: Las matemáticas en el Cine
 Autor: Alfonso Jesús Población Sáez
 Editorial: Proyecto Sur de Ediciones
 Granada, 2006
 ISBN: 84 - 8254 - 367 - 9
 24 x 17 cm. 318 pàgines.
 




I com que un descobriment ens porta a un altre, em vaig assabentar que aquest mateix autor va publicar, en la revista MATerials MATemàtics de la Universitat Autònoma de Barcelona (UAB), un excel·lent article d'una vintena de pàgines: Algunos momentos matemáticos del cine. Feu clic en l'enllaç anterior perquè no us podeu perdre l'estudi minuciós que hi fa d'algunes escenes cinematogràfiques relacionades amb les matemàtiques. Només la feinada que li ha portat aquesta anàlisi ja és digna d'elogi.

Ho he dit de passada, però deixeu-me insistir en aquesta revista electrònica de la UAB (així puc posar l'etiqueta Matemàtiques a Catalunya a l'entrada, que falta ens fa).

Aquest article és volgudament breu: em sembla que aquests darrers enllaços es mereixen més atenció que els comentaris que en pugui fer. Si us ve de gust, ja me'n direu alguna cosa.

John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (II)

Evidentment i aritmèticament, aquest escrit és la continuació de John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (I). Ja vaig comentar en aquell article que A Beautiful Mind no destaca pel seu contingut matemàtic, tampoc no aporta gaire cosa a la divulgació de les matemàtiques ni fa un bon retrat de la feina dels investigadors matemàtics —de fet, no és ni un bon retrat de Nash. Per entendre'ns, seria com si un film sobre el compositor Beethoven se centrés en l'evolució de la seva sordesa i que la música hi jugués un paper més que secundari. Vull deixar clar que no em carrego la pel·lícula com a història de ficció, sinó com a intent volgudament infructuós —per tal d'obtenir l'èxit comercial— de reflectir la vida d'un matemàtic real.

Les matemàtiques hi són pràcticament absents, però la seva simbologia gràfica —aparatosa, màgica i incomprensible per als llecs— acompanya moltes escenes. Les expressions i els símbols matemàtics omplen papers, vidres i pissarres.

El responsable d'aquest desplegament que ambienta les escenes, però hi fa un paper més aviat d'atrezzo, va ser el matemàtic nord-americà Dave Bayer que va fer d'assessor (Math consultant) de la pel·lícula. Bayer sembla que es va prendre seriosament la feina i va procurar que les expressions matemàtiques que anaven apareixent tinguessin sentit. El mateix Nash comenta, però, que alguns dels problemes que planteja el seu alter ego de ficció a classe, ell no els va proposar mai. Sembla que Bayer va haver d'omplir pissarres i vidres i que la seva mà és la mà de Nash en diverses escenes. Dave Bayer va estudiar al Swarthmore College i en un número del butlletí d'aquest college (juny de 2002) hi apareix un breu article de Dana Mackenzie dedicat a la seva col·laboració en la pel·lícula (si hi voleu accedir feu clic a Beautiful Math).

En castellà, podeu consultar Las matemáticas de "Una mente brillante", aquest va ser el títol en castellà més enllà de la Península, o una breu ressenya de les pàgines que el llibre "Las matemáticas en el Cine" d'Alfonso Jesús Población Sáez dedica a aquesta obra. Per cert, la cerca per la xarxa m'ha portat a descobrir les publicacions sobre cinema i matemàtiques de Población Sáez, professor de la Universidad de Valladolid, i us en parlaré properament.

La lògica i el currículum (I)

Com a introducció d'aquest article, em permeto començar amb una pregunta de la Prova Cangur de 2009 (si ignoreu de quin tipus de prova estic parlant, feu clic a Més de 18.000 alumnes catalans de secundària participen a la prova Cangur 2010):

Problema dels mentiders (Cangur 2009)
En una illa remota unes quantes persones sempre diuen la veritat i les altres persones menteixen sempre. 25 persones d’aquesta illa estan col·locades en fila íındia. La primera persona de la cua diu que totes les altres són mentideres. Totes les altres persones de la cua diuen que la persona que tenen al davant és mentidera. Quantes persones mentideres hi ha a la cua?

A) 0     B) 12     C) 13     D) 24     E) És impossible saber-ho

Podeu veure que és un test de resposta múltiple i en tenim cinc de possibles. Abans de continuar i si esteu delerosos de saber la resposta cliqueu al "Mostra" que apareix més avall (només ho hauríeu de fer si heu intentat solucionar el problema i després d'uns minuts de reflexió):

Solució del problema dels mentiders

(+/- Mostra/Oculta)

La resposta correcta és la c. Hi ha tretze persones mentideres. És evident que la primera persona no diu la veritat perquè tota la resta no poden ser mentiders: un mentider no pot dir d'un altre mentider que ho és. Per tant, si la primera menteix, la segona diu la veritat i van alternant mentiders amb persones que diuen la veritat.

La mera presència d'aquesta pregunta en un examen de matemàtiques pot sorprendre a la majoria dels estudiants de secundària i del batxillerat actuals que identifiquen aquesta assignatura amb l'aritmètica, l'àlgebra, la geometria, l'anàlisi i un polsim de probabilitat i estadística. Encara que quatre de les respostes proposades són numèriques, el problema no és d'aritmètica, sinó de lògica (a més, de la més clàssica i aristotèlica lògica binària).

Tradicionalment la lògica s'ha considerat un camp d'estudi de la filosofia i, fins fa poc, el seu ensenyament als nostres joves ha estat en mans dels professors de filosofia de batxillerat (sense batxillerat, no hi havia continguts reglats de lògica). Hores d'ara i seguint el temari de Filosofia i Ciutadania (m'estalvio comentaris polèmics sobre el nom) de 1r de Batxillerat, el professorat d'aquesta matèria es pot estaviar els continguts més elementals de lògica formal. Com que a més els han castigat amb només dues hores de classe setmanals, ja us podeu pensar en quin estat tenim el raonament lògic. És clar que alguns ciutadans em poden replicar que en tenim prou amb el "sentit comú". Com que aquesta no serà la única entrada dedicada a Lògica i Metodologia — no se m'ha acudit cap altra etiqueta per tractar de la lògica i de la metodologia matemàtica— els deixarem, momentàniament, fruir de la perillosa inòpia intel·lectual en la qual viuen.

La lògica, no cal dir-ho, fonamenta també el coneixement científic i matemàtic. D'això i d'algunes anècdotes significatives a les aules, en parlarem més endavant.

John F. Nash: la pel·lícula de Ron Howard (I)

Segurament seria més adient i de més actualitat, parlar de l'innovador matemàtic Benoît Mandelbrot  (1924-2010) que va morir recentment i al qual dubto que se li dediqui cap biografia, escrita o filmada. Però deixarem els fractals, els conjunts de Julia — atenció, no estem parlant de roba de senyora—  i el conjunt de Mandelbrot per a una altra ocasió. Com que ja  fa dies que vaig publicar en aquest bloc un article sobre John F. Nash amb la idea que tingués continuació (John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar, doneu-li una ullada, si us plau, perquè m'estalviaré repeticions) i ja tenia el present escrit entre cella i cella, prefereixo deslliurar-me'n a cedir a l'impuls de parlar de fractals o coliflors.

En diverses classes de batxillerat, he fet la següent pregunta: algú sap qui és John Nash? En la meva època d'estudiant tampoc teníem gaire idea de res, però haguéssim contestat "un escriptor" al professor de Literatura o "un matemàtic", al de Matemàtiques. La reacció majoritària ha estat un gratificant silenci — cada vegada és més difícil d'aconseguir, i no només a les aules—, però alguns s'han atrevit a dir "un cantant" (no és el que m'esperava, però és veritat que hi ha un Johnny Nash, cantant pop ja granadet, i que un grupet espanyol també portava aquest nom). Hi havia més respostes si, a continuació , mostrava la caràtula de la pel·lícula A Beatiful Mind (2001) de Ron Howard.

No obtenia un clamor popular, perquè  les pel·lícules tenen una data de caducitat cada vegada més curta i molts joves no l'han vista; però uns quants, a l'identificar, l'expressiva o forçadament inexpressiva, cara de l'actor Russell Crowe, s'atrevien a relacionar Nash amb la pel·lícula que tractava d'un matemàtic que "estava boig". L'especificatiu "estava boig" ens hauria d'animar perquè indica que:

1. no tots els matemàtics estan bojos,
2. no a tots, se'ls nota la bogeria,
3. es tracta d'un estat temporal.

Anem al gra (en aquest cas, al film)! A Beautiful Mind es va traduir com Una mente maravillosa a Espanya i  com Una mente brillante, a Hispanoamèrica. No sé si va ser doblada al català, però a Viquipèdia en parlen com d'Una ment prodigiosa. Va guanyar quatre Oscar: millor pel·lícula, millor director, millor actriu secundària (Jennifer Connelly) i millor guió adaptat (Akiva Goldsman). Russell Crowe amb una histriònica actuació, d'aquestes que tant agraden a Hollywood, va ser nominat, però no va obtenir el premi al millor actor. En els crèdits finals se'ns anuncia que aquesta obra està basada en fets reals i en la biografia de Sylvia Nasar, però, suposo que amb l'objectiu d'aconseguir un èxit comercial, molts aspectes de la ficció difereixen de l'autèntica vida de Nash, per exemple:

1.  Nash se'ns mostra com un fidel monògam. En realitat, abans de casar-se amb Alicia Lardé, ja havia tingut un fill amb Eleanor Stier (pobrets, ni un ni l'altra surten al guió) i diverses relacions homosexuals (amb una detenció policial que li va crear problemes professionals). Tampoc apareix el divorci d'Alicia ni els aspectes menys simpàtics de les seves difícils relacions socials.
2. El Nash de veritat no ha patit mai les al·lucinacions visuals que apareixen en el film (perdoneu que us espatlli l'entreteniment si no l'heu vist) . El guió fílmic es basa en la mateixa trampa que Los otros (2001) de Alejandro Amenábar o The Sixth Sense (1999) de M. Night Shyamalan: els personatges que no són el que aparenten (no hi ha res més efectiu que un fantasma que no ho sembla ). Aquí se'ns desvetlla a mitja pel·lícula, i no al final, que alguns dels personatges, principals fins aleshores, són només producte de la ment malalta del nostre heroi i, més que de sorpresa, té l'aire d'enganyifa (si sou observadors, però, alguns detalls subtils ja ho anunciaven).
3. Nash tenia una autèntica obsessió per renunciar a la nacionalitat nord-americana i refugiar-se a Europa. Això el va portar a viure al nostre continent algunes temporades i a intentar, infructuosament, la renúncia a la seva nacionalitat. Aquest fet, penso que per poc patriòtic, no el veiem per enlloc.
4. No podem parlar massa de matemàtiques, perquè hi apareixen només de forma anecdòtica i estereotipada, però pensar que l'equilibri de Nash va néixer en el moment que unes quantes noies maques entren en un bar, només se li pot acudir a un guionista que no coneix cap matemàtic (i menys encara, jove i carregat d'hormones). L'anècdota, però, és bona i ben aconseguida i supera de molt la de Sir Isaac Newton i la caiguda de la poma, ¿també fantasiosa?. "L'estranya teoria" que sorgeix a l'hora de decidir una estratègia per lligar és l'únic contingut "matemàtic" que han recordat alguns alumnes meus que han vist l'obra de Howard. 

Sense ser una obra d'art, A Beautiful Mind no és una mala pel·lícula: la direcció és bona; el guió, original; els actors més que correctes (una menció especial per a Ed Harris que, com sempre, sense fer res domina la pantalla i per a Jennifer Connelly, més continguda i millor que Crowe); la música, interessant, etc. Però torna a ser la típica història americana on la voluntat i l'afany de superació vencen l'adversitat més gran i, en el cas de l'esquizofrènia que pateix el protagonista, dubto que l'actitud de resistència de Nash sigui la causa de l'atenuació dels símptomes. Més que la frase "basada en fets reals", hi escauria més el "lliurement basada en...". Si algú pensa que és una biografia acceptable de Nash, va errat.

Com que m'estic passant dels estàndards habituals d'extensió dels textos blocaires i voldria comentar alguna cosa més, us convido a un proper lliurament sobre A Beautiful Mind (the film). Penseu que, per exemple, encara no he parlat de l'assessor matemàtic que va intervenir en el rodatge i, quan són més habituals els assessors d'esgrima que els de matemàtiques, és un fet digne de menció.
  

Continuem amb els decimals de Pi: Universo matemático i d'altres

Quan vaig publicar l'article immediatament anterior a aquest, Com es poden calcular els decimals de Pi?, em vaig guardar, per a una altra ocasió, algunes informacions i comentaris que em semblaven interessants. En aquests temps postmoderns en els quals vivim, on les grans novel·les han estat substituïdes pels reculls de contes (breus, no sigui que se'ns cansi la vista), un text extens és, per definició, defectuós. I si parlem d'un bloc, es valoren més les petites i digestives píndoles textuals que un reguitzell de paràgrafs. M'agrada nedar contracorrent, però cal fer-se el mort de vegades, i ja comprovareu que  aniré desenvolupant els mateixos temes sota de diferents títols (i, de moment, em resisteixo al "leer más" del blogger, però ja hi cauré). Vull dir, en resum, que veig convenient, estilísticament i per que és costum, no fer entrades massa llargues, però que això m'obliga a fer sèries d'articles i lligar-los. Bé, anem per feina!

Televisió espanyola (RTVE) va produir l'any 2000 una sèrie anomenada Universo matemático (fins i tot, Wikipedia en parla) de deu documentals encabida dins del programa La aventura del saber. Desconec l'hora d'emissió, però el més probable és que acompanyés les migdiades o els cops de cap, de després de sopar o de l'entrada de la matinada, dels nostres conciutadans.Un dels capítols portava l'ocurrent títol de Historias de Pi (feu-hi clic i podreu veure aquest episodi, que no arriba a la mitja hora, en el web oficial, no sigui que la gent de EGEDA se'ns enfadi). El documental, que no és cap prodigi de producció audiovisual, està força bé en quant a continguts i guió: parla de Srinivasa Ramanujan (de l'anècdota del 1729, de la sèrie de Ramanujan per calcular decimals de π...), d'Arquimedes (aproximacions de π, càlcul d'àrees i volums...), dels avenços en el càlcul de més i més decimals d'aquest nombre, etc. L'únic contingut que posaria en dubte és que la raó entre la longitud d'un riu i la distància en línia recta des del seu naixement fins al mar s'aproxima a π. El documental parla de rius llargs i que és la mitjana d'aquesta raó de longituds, calculada per a rius d'aquesta característica, que s'hi aproxima (quan afirmem una falsedat o no som massa rigorosos, el millor es rodejar-ho de totes les prevencions possibles).

I més: Gaussianos informava el 8 d'agost d'enguany d'un nou rècord en el càlcul de decimals de π. El 2 d'agost Shigeru Kondo i els seus col·laboradors van aconseguir calcular 5 bilions de decimals d'aquest nombre irracional. Sembla que en aquesta ocasió no hi ha hagut la freqüent errada de traducció de l'anglès i els 5 bilions són cinc milions de milions (one billion en anglès són, només, mil milions).

La notícia més estranya que he llegit últimament sobre els decimals de π és que un investigador de Yahoo, Nicholas Sze, ha calculat el decimal que ocupa el lloc dos mil bilions, és un zero, i alguns decimals propers. Resulta interessant que per calcular-los no ha necessitat llistar tots els decimals anteriors (podeu llegir-ho a Microsiervos).  Aviso que, en aquest cas, no he contrastat la informació, cosa que és una obligació de tothom —i en particular, d'aquesta espècie en perill d'extinció, que s'anomena bon periodista. He llegit el mateix en diversos webs, però es veu que s'han limitat a copiar-se. Confeso que els meus dubtes, es deuen a això de "un investigador de Yahoo" . Us convido a investigar-ho pel vostre compte i agrairia qualsevol comentari al respecte. Ah! i no us perdeu, perdoneu-me la repetició, Historias de Pi.

Com es poden calcular els decimals de Pi?

Fa poc, una companya de docència em comentava que uns alumnes li havien preguntat com es calculaven els decimals de π. Aquests tipus de preguntes no són gaire freqüents, les més habituals acostumen a ser del caire de:

• quant falta per acabar la classe? (molts alumnes no porten rellotge: el mòbil fa de rellotge, de calculadora, d'àngel de la guarda...)
• això entra a l'examen? (s'acostuma a fer en el moment de màxima emoció del professor quan, per exemple, està comentant que els pitagòrics tenien prohibit menjar faves)
• que puc anar al lavabo? (Groucho Marx explica en un dels seus llibres que, un dia, quan la seva petita filla Melinda acabava d'arribar d'escola, ell li va preguntar: — què heu fet avui?; — pipí i dibuixos, papa!)

De vegades, però, es manifesta la curiositat natural de la nostra espècie —aquesta curiositat  que hem de maldar en mantenir— i se'ns pregunta pels decimals de π. Quan vaig sentir el comentari, els meus pensaments es van dirigir als polinomis o sèries de Taylor i a les fraccions contínues; però, evidentment, no és el camí a seguir per respondre als nostres alumnes de secundària i, malauradament, tampoc és la drecera que entendrien la majoria dels nostres llicenciats universitaris (perdó, volia dir graduats).

En aquest cas, el que sembla un primer intent seriós de contestar aquesta pregunta, històricament parlant, és també el més senzill d'entendre. Arquimedes de Siracusa (c. 287 AC – c. 212 AC) va aplicar el mètode d'exhaustió per calcular aproximadament el valor de π. Un incís: en català sovint dubtem entre Arquímedes, paraula esdrúixola,  i la plana Arquimedes. Aquesta darrera opció és la més correcta i la més fidel al nom grec original (vegeu, si us plau, la ressenya que fa Francesc J. Cuartero del llibre La transcripció dels noms propis grecs i llatins de Joan Alberich i Montserrat Ros).

Arquimedes (a Viquipèdia, en català)

Archimedes (A MacTutor, en anglès)





Com que π és la raó o quocient entre la longitud o perímetre d'una circumferència i el seu diàmetre, mitjançant polígons regulars inscrits i circumscrits i augmentant-ne els costats, Arquimedes va aconseguir bones aproximacions del nombre que ens ocupa. A internet hi ha una munió de documents que expliquen amb més o menys detall i rigor aquest mètode. N'he triat alguns que m'han semblat interessants i que contenen d'altres detalls de la història de π:

• El número π: de la Geometría al Cálculo Numérico. L'autor és Roberto Rodríguez del Río. La pàgina 5 d'aquest document explica d'una manera breu i entenedora, a grans trets, els càlculs d'Arquimedes. Si sou alumnes desvagats, doneu una ullada a aquesta pàgina 5 per fer-vos una idea (poso en negreta la frase per tal que us sigui més fàcil de localitzar si llegiu en diagonal).

• Historia de las fórmulas y algoritmos para π de Jesús Guillera Goyanes. Article aparegut a la molt recomanable Gaceta de la RSME.

• Història del nombre π. A la inevitable Viquipèdia. Consell: feu clic per passar-vos a la versió anglesa que és molt més completa o consulteu Numerical approximations of π també a Wikipedia. Per evitar els esbufecs dels nacionalistes més aïrats d'una banda i de l'altra, diré que la versió anglesa és millor i, amb aquesta extensió i profunditat, no hi ha, ara mateix, versió castellana.

•  Sobre la longitud de la circunferencia y el área del círculo a Gacetilla Matemàtica . Explica bé algun dels càlculs d'Arquimedes.

I això no és tot, però ja hi tornarem un altre dia.

Gaussianos: només matemàtiques, i com!

Conec el bloc que ara us presentaré des de fa temps i és possible que, si sou aficionats a cercar continguts matemàtics a la xarxa, també sigui un vell conegut vostre. Podeu pensar que us convido a passar-vos a la competència, però la competència només s'estableix entre productes de qualitat semblant i gaussianos, vet aquí el seu nom, està molt per sobre d'aquest nounat encara escarransit que s'anomena I ara! Matemàtiques? Entendré perfectament que, una vegada feu clic a la següent imatge, no retorneu a aquesta pàgina:

Si us tinc aquí de nou, continuo. L'autor de gaussianos és Miguel Ángel Morales Medina, Llicenciat en Matemàtiques per la Universidad de Granada el 2003, professor universitari i és també l'editor del Boletín de la RSME (Real Sociedad Matemática Española) des de l'1 d'abril de 2010. En el bloc, encetat el 26 de juliol de 2006,  respon al nom de ^DiAmOnD^ (amb aquesta grafia, els matemàtics joves tenen aquestes coses!). El contingut de gaussianos, molt extens, abasta nivells diferents de complexitat, si bé, de vegades, requereix un cert nivell de coneixements matemàtics per a la seva comprensió. Les entrades són variades: des de problemes proposats a notícies d'actualitat o comentaris històrics. Si en voleu fer un tastet, us recomano un parell d'articles:

• Construcciones con regla y compás (I): introducción y primeras construcciones. És el primer d'una interessant sèrie d'escrits sobre geometria.

• Medallas Fields 2010. Sobre els guanyadors d'aquests prestigiosos premis matemàtics.

I per acabar, deixeu-me explicar la circumstància anecdòtica que m'ha portat a escriure aquest text justament ara. Si llegiu els comentaris de l'article immediatament anterior a aquest (L'Home de Vitruvi),  veureu que hi ha alguna referència al gat de Schrödinger. Fa mesos, una de les cites de gaussianos, atribuïda a Darwin, em va cridar l'atenció (Definición darwinista de matemático). Ja l'havia llegida abans, però com a definició de físic quàntic i el gat fosc de l'habitació era el de Schrödinger. Morales Medina va tenir l'amabilitat de contestar-me un correu on jo dubtava de la definición i va atribuir la possible incorrecció a les seves fonts (el llibre Infinitum Citas Matemáticas). Ara ha estat el gat que m'ha portat a escriure sobre el seu increïble bloc.

L'Home de Vitruvi

Marc Vitruvi Pol·lió va ser un arquitecte i enginyer romà del segle I aC. Va escriure un tractat d'arquitectura (De Architectura Libri) que va ser reeditat a Roma cap el 1486 i més tard a d'altres ciutats, ara italianes, quan els renaixentistes es van interessar i inspirar en l'art clàssic de Grècia i Roma. Leonardo da Vinci va fer, cap el 1492, un famós i difós dibuix que es coneix com L'Home de Vitruvi. El dibuix es titula Estudi de les proporcions humanes segons Vitruvi.

Si en voleu veure una reproducció en metall, només cal que agafeu una moneda d'un euro encunyada a Itàlia.

Portem ja uns quants articles dedicats al nombre auri i ja hem parlat de la secció àuria en l'obra de Leonardo da Vinci (vegeu La Gioconda, enigmàtica?).  En el cas de la Gioconda, la presència volguda del nombre auri és més que dubtosa: aquesta setmana, quan en una classe de primer de batxillerat, mostrava una reproducció d'aquest quadre amb els suposats rectangles auris de la composició, més d'un alumne va notar que els rectangles s'havien dibuixat d'una manera totalment subjectiva i sense criteris rigorosos (podeu donar una ullada a El mite del nombre d'or). La defensa de la presència del nombre auri en aquest dibuix de Leonardo que ara ens ocupa, també és aferrissada. Per exemple, el matemàtic Manuel Sada, que té uns excel·lents videotutorials sobre el programa de geometria dinàmica GeoGebra, en dedica un a trobar la secció àuria en aquesta obra (vegeu-lo: El Hombre de Vitrubio).

Com el Quixot, una mica fart de "desfazer entuertos", l'autor d'aquest bloc, sense massa temps i aclaparat per la repetició de tesis sense fonaments, us proposa una recerca:

• En quin dels deu llibres del tractat de Vitruvi es parla de les proporcions anatòmiques?

• Un romà com Vitruvi és poc sospitós d'utilitzar els nombres irracionals en els seus cànons. Curiosament, si llegiu els articles de Viquipèdia en llengües diferents, veureu que en alguns parlen de la secció àuria i en d'altres, no:

         L'Home de Vitruvi (en català)

         El Hombre de Vitruvio (en castellà)

         Vitruvian Man (en anglès)

         L'Homme de Vitruve (en francès)

        En què quedem? Vitruvi parla del nombre auri o no?

• En l'obra de Vitruvi ja apareix la secció àuria? No apareix, però Leonardo la incorpora en el seu dibuix? Si és així, Leonardo és conscient que la incorpora o ho fa inconscientment al treballar amb un quadrat i una circumferència?

Us pot servir llegir un post del bloc Screen Circles (L'Homme de Vitruve).

Tot  i que els educadors (mestres, professors i afins) som els únics que ens dediquem a fer preguntes de les quals ja coneixem la resposta, us asseguro que, en aquest cas, no és així.

John F. Nash: la biografia de Sylvia Nasar

En general, els matemàtics més brillants no gaudeixen de gaire popularitat —per no dir gens— i, segurament, si demanéssim a la gent pel carrer que ens digués el nom d'alguns matemàtics destacats, la llista que obtindríem no contindria cap persona que no porti més de dos mil anys morta. El cas del matemàtic nord-americà John Forbes Nash Jr. (Bluefield, 1928) en podria ser una excepció (paradoxal, si voleu, perquè molta gent sap detalls de la seva vida, però són incapaços de recordar-ne el nom). La vida de John Nash és coneguda perquè:

• Va obtenir el premi Nobel d'Economia el 1994. De fet, Alfred Nobel no va crear cap premi d'economia ni de matemàtiques. L'anomenat Nobel d'Economia va ser atorgat per primera vegada el 1968 per iniciativa de l'Sveriges Riksbank (un banc suec, valgui la redundància de la traducció) i les matemàtiques no tenen cap premi Nobel específic (hi ha llegendes urbanes que n'expliquen els motius i que ja comentarem en una altra ocasió). Aquest Nobel d'Economia el va compartir amb l'hongarès, nacionalitzat nord-americà, John Harsanyi i l'alemany Reinhard Selten. Si no heu sentit parlar d'ells ni són tan coneguts, es deu, probablement, a que la seva biografia no presenta els detalls morbosos de la de John Nash. El premi els va ser atorgat per l'anàlisi pionera d'equilibris en la teoria de jocs no cooperatius. Si us penseu que aquesta teoria té a veure amb l'educació física, el món infantil o el pòquer on line, consulteu Teoria de Jocs. Cal dir que, segons els entesos, les aportacions més brillants de Nash s'han produït en d'altres camps de la matemàtica aliens a l'economia, però no han tingut tant ressò.

• La periodista i economista nord-americana Sylvia Nasar en va escriure una biografia que va assolir força èxit. Ho deixem aquí, de moment, perquè aquesta entrada va dedicada principalment a aquest llibre.

• I sobretot... perquè Ron Howard va portar la vida de Nash, o una cosa semblant, al cinema amb la pel·lícula A Beautiful Mind (2001) que va obtenir quatre Oscar. A Espanya, en castellà, el títol es va traduir com Una mente maravillosa. En el film, l'actor Russell Crowe fa de Nash, però ja ens esplaiarem amb l'obra de Howard en un altre escrit.

• I sobretot, sobretot.... perquè als tres punts anteriors, podem afegir que John Nash pateix d'esquizofrènia i ja sabem que la malaltia, sumada a la genialitat, augmenta la popularitat de qualsevol personatge. 

 La biografia que de Nash va fer Sylvia Nasar es va publicar originalment en anglès el 1998. El títol original és A Beautiful Mind amb el llarg afegitó A Biography of John Forbes Nash Jr., Winner of de Nobel Prize in Economics, 1994. Va ser un èxit de vendes i va rebre algun premi (National Book Critics Circle Award) en la modalitat de biografies. A Espanya, el va publicar l'editorial Mondadori amb el títol Una mente prodigiosa. El diari ABC  i la revista Fotogramas també en van fer una edició especial, dins de la col·lecció Libros de cine,  que es venia amb els seus exemplars juntament amb l'oscaritzada pel·lícula. En català ha estat publicat per l'editorial Columna amb el títol Una ment meravellosa.

La metodologia de Sylvia Nasar és exemplar: no he llegit cap altra biografia "de divulgació" que justifiqui amb tanta cura la narració.  Al final de cada capítol hi consten unes quantes pàgines de notes breus que especifiquen les fonts (documents, entrevistes, etc.) de cada detall que hi apareix. A més, la lectura del llibre no es veu entorpida per aquest fet perquè aquestes notes acostumen a ser una referència de les fonts d'informació i les podem obviar si volem fer una lectura més planera. Sylvia Nasar explica la vida i l'obra de Nash i no n'omet cap aspecte rellevant, ni personal ni professional. En aquest sentit. la pel·lícula de Howard només és un esboç fantasiós i desdibuixat. No és sorprenent que Nash estigui més molest amb el llibre que amb la pel·lícula: reconeix que Nasar ha recopilat molta informació, però diu que, en part, és falsa. I és possible que sigui així —els coneguts de Nash han explicat allò que recorden i això porta implícita la seva interpretació—; però que Nash no es reconegui sempre en el llibre, suposo que no està d'acord amb l'explicació dels  fets més íntims de la seva vida, no vol dir que estiguem davant d'un text poc fonamentat. La memòria humana és selectiva i reinterpreta els fets, a més Nash ha patit greus i llargs episodis on els símptomes de la seva malaltia s'han manifestat amb força. Nash es queixa que Nasar no li mostrés el llibre que havia escrit i l'escriptora es justifica dient que l'editor va voler agilitar-ne la publicació. Sigui com sigui, i encara que ens trobem davant d'una biografia desautoritzada, el llibre és del tot recomanable.

A MITWorld trobareu una conferència de Sylvia Nasar sobre aquesta biografia. Per accedir-hi, feu clic a:

 A Beautiful Mind: Genius, Madness, Reawakening (Dr. Sylvia Nasar; October 28, 2002)

La Gioconda, enigmàtica?

Aquest article continua la sèrie d'escrits que vam encetar amb El mite del nombre d'or. En tots ells tractem d'esbrinar si el nombre auri és tan present en la natura i en les activitats humanes com molts creuen o aquesta afirmació no té fonament científic. Avui li toca el torn a una de les obres, junt amb les "mutilades" Venus de Milo i Victòria de Samotràcia, que omplen el parisenc Museu del Louvre de turistes que veuen el món a través del visor o de la pantalleta de les seves càmeres i mòbils. Dan Brown ha tingut el dubtós honor d'afegir, a les tres populars obres de visita "ineludible" i fotografia "inexcusable",  la Piràmide, i la seva germaneta invertida, inaugurada pel president Miterrand el 1989.

La Gioconda o Mona Lisa és una de les obres més conegudes de l'artista florentí Leonardo da Vinci (1452-1519). Segurament és un  dels quadres que ha generat més "literatura", teories i comentaris (la majoria fantasiosos, truculents i sense base). S'ha dit que era un autoretrat del propi Leonardo, que l'obra oculta enigmàtics missatges... Aquí només ens ocuparem de dos dels comentaris més populars: la presència de la proporcionalitat àuria en el retrat i de si el somriure de la Gioconda és tan únic i enigmàtic com diuen. El segon assumpte no té res a veure amb les matemàtiques, però farts de sentir-ne parlar posarem punt final a l'entrada amb algunes preguntes al respecte (de vegades, les preguntes aclareixen més les coses que les afirmacions).

Quan es parla de la secció àuria en aquesta obra s'acostuma a acompanyar el text amb il·lustracions com la següent:

En aquest cas, l'autor almenys hi ha fet constar algunes longituds. En la majoria de casos però, es limiten a repetir que el rostre està enquadrat en un rectangle auri  —qui va ser el creador d'aquesta història?—  i que la resta de les faccions mostren també la divina proporció. Si ens fixem en el rectangle vermell de la imatge anterior, la hipòtesi àuria no s'aguanta per enlloc: per què els seus quatre vèrtexs s'han situat en aquests punts tan difícilment objectivables? Si els movem una mica, podem enquadrar la cara en un rectangle que ja no serà auri. L'única manera de defensar la hipòtesi seria demostrar que en els primers esboços, Leonardo es va dedicar a quadricular la taula per obtenir aquesta proporcionalitat o que el pintor coneixia i utilitzava Φ. Si algú en té alguna notícia i ens ho comunica, podrem matisar el notre escepticisme. Pensant en alguns comentaris previsibles, em permeto avançar que de l'Home de Vitruvi ja en parlarem en una altra ocasió.

Si passem al somriure, més aviat rictus,... no sé si cal començar pel somriure arcaic dels koúroi grecs. Ja tenim somriures enigmàtics, o no tan enigmàtics, en l'art grec (650 al 550 aC)! Per altra banda, tan enigmàtica és l'expressió de la Gioconda? En d'altres pintures del mateix Leonardo trobem expressions i cares semblants i se n'ha parlat molt menys:

Sant Joan Baptista
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna
 (imatge extreta del web Gallery of Art)

Aquestes dues obres també es troben en el Louvre (si feu clic al damunt, podreu veure-les millor) i no han de suportar tantes aglomeracions al seu davant (posats a triar, els gustos són subjectius, m'agrada més La mare de Déu i l'infant amb Santa Anna que no pas La Gioconda). Els somriures s'assemblen i, fins i tot, ens podem preguntar: Santa Anna i la Gioconda no són la mateixa persona? Per cert, podreu trobar imatges d'altres obres de Leonardo, ¿amb el mateix somriure?, i de moltíssims pintors més en la magnífica i recomanable Web Gallery of Art d'on he tret aquestes dues darreres fotografies digitals.

Proporcions en l'art: racionals o irracionals?

En d'altres ocasions ja hem parlat de les dimensions i de les propocions, sobretot en relació al nombre auri, la secció àuria o com vulgueu anomenar al nombre Φ. No tractarem aquí d'una manera general el tema de les proporcions en l'art. Entre d'altres motius, perquè si consulteu algunes de les enciclopèdies més conegudes dedicades exclusivament a l'art, tot i que poden tenir un nombre considerable de volums, veureu com pràcticament no hi són presents qüestions com les proporcions, les mesures o les tècniques artístiques — com si el fet de parlar-ne, rebaixés el nivell "humanístic i espiritual" de les obres que hi consten. De fet, ja m'ha costat contrastar les quatre coses que explicarem aquí i cal dir que he trobat discrepàncies en algunes ocasions (és el cas, per exemple, del cànon de l'escultor grec Lisip, que comentarem més endavant, que tan aviat és de "vuit caps" com de "set caps i mig").

Comencem doncs per l'escultura de l'Àntiga Grècia. Per als amants de l'austera bellesa actual d'aquestes obres, hem de dir que la majoria d'elles estaven pintades total o parcialment: ¿de quin to rosa era la pell de la Venus de Milo? Sembla que els escultors grecs estaven molt interessats en la qüestió de la proporcionalitat anatòmica. Policlet (segle V aC) va escriure un tractat sobre aquest tema, però no se'n conserva cap còpia. Sí que es conserva una còpia, l'original en bronze no s'ha trobat, de l'escultura on posava a la pràctica el seu cànon estètic: el Dorífor (del grec δορυφόρος, doryforos, 'el que porta la llança'). Sembla que va ser realitzada entre el 450-440 aC. A través dels historiadors romans, ens ha arribat la notícia que el Dorífor o Cànon era utilitzat pels artistes aprenents i Plini deia de Policlet que era l'únic artista que havia incorporat tot l'art en una sola obra. El cànon de Policlet es coneix com de "set caps" perquè el cap del Dorífor és la setena part de la seva altura.

El segle IV aC, Lisip, un altre escultor grec, empetiteix els caps — s'ha dit que per donar més sensació de grandesa.El cànon de Lisip sembla ser de "vuit caps" (el cap és una vuitena part del cos) encara que no m'he entretingut a comprovar-ho i en alguna lloc es parla, com hem dit, de "set caps i mig". L'obra "canònica" de Lisip és l'Apoxiòmenos (cap el 330 aC) de la qual tampoc no en tenim l'original. Apoxiòmenos seria, traduït literalment al català, "aquell que es rasca": es tracta d'un atleta (pugilista?) que es treu les restes d'oli, els greco-romans s'untaven per fer esport, amb un aparell anomenat estrígil.

Evidentment els cànons eren més complexos i no feien referència nomes a la proporcionalitat del cap, sinó a la relació entre tots els punts importants de l'anatomia externa (veieu les il·lustracions del següent enllaç: Apoxiomenos). Sigui com sigui i tal com era d'esperar, aquest dos cànons i d'altres que es podrien citar i comentar són perfectament expressables en fraccions i han estat concebuts com a fraccions: no apareix cap irracional i, per tant, podem prescindir del nombre auri. En un enllaç que hem donat en un paràgraf anterior (cànon estètic) podeu llegir, per exemple, que la proporcionalitat que aplica l'italià Sandro Botticelli (1445-1510) en la seva coneguda pintura El naixement de Venus no té res a veure amb els irracionals.

¿I la Gioconda de Leonardo? Segons alguns d'enigmàtic somriure, plena de rectangles auris i portadora d'hermètics missatges... En parlarem en la propera entrada, però de moment aquí us la deixo (en blanc i negre i la cara feta un quadro):

Les arrels no europees de les matemàtiques

El llibre The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics de George Gheverghese Joseph va ser publicat, en l'anglès original, el 1991. L'autor va néixer a la ciutat índia de Kerala, però és va traslladar a Kènia amb la seva família de ben petit, més tard va rebre formació universitària en  l'anglesa ciutat de Leicester i va treballar a les universitats de Manchester i Toronto. A més, com comenta en el prefaci del llibre, entre els seus avantpassats hi ha cristians siris ortodoxos: aquesta herència i formació variada justifiquen, segons ell, la passió que l'impulsa a escriure aquesta obra que ara ens ocupa.

The Crest of the Peacock va ser publicat en castellà per Ediciones Pirámide, del grup Anaya, el 1996. Van respectar força el títol, el van traduir com La cresta del pavo real: Las matemáticas y sus raíces no europeas. L'estranya referència al  pavo real s'entèn perfectament quan es llegeix un text vèdic que apareix després de la dedicatòria en les pàgines inicials. Aquest text compara les matemàtiques amb la cresta d'aquest ocell.

El llibre ofereix una perspectiva alternativa a les històries de les matemàtiques que el autor anomena eurocèntriques. Amb les següents figures extretes del llibre, entendrem millor què vol dir "visions eurocèntriques" de la història de les matemàtiques:

Tant en una trajectòria com en l'altra, les matemàtiques neixen a l'Antiga Grècia. En la segona, ara la més habitual en molts textos, s'admeten les aportacions secundàries d'Egipte, de Mesopotàmia i dels àrabs. Cal aclarir que quan l'autor parla d'Europa o de la matemàtica europea no ho fa en un sentit estrictament geogràfic: així, per entendre'ns, els japonesos Goro Shimura (1930) i Yutaka Taniyama (1927-1958), autors del teorema que porta el seu nom (Teorema de Taniyama-Shimura), són matemàtics de tradició i mètode europeu.

La trajectòria que proposa George Gheverghese Joseph per a una de les etapes crucials és més rica i complexa:

El llibre, de 494 pàgines, és una joia, però no admet una lectura lineal i ràpida, comú en d'altres llibres de divulgació. És més una petita enciclopèdia amb capítols independents on es revisa la matemàtica de l'Amèrica precolombina, de l'antic Egipte i Babilònia, de l'Índia, de la Xina i del món àrab clàssic.

Que jo sàpiga no hi ha cap més obra d'aquest autor disponible en castellà. La Societat Catalana de Matemàtiques, però, va tenir el bon criteri de convidar-lo, el 2004, a la Setena Trobada Matemàtica que versava sobre Matemàtica: unitat i diversitat i vam poder assistir a una brillant ponència amb el títol de Medieval Kerala Calculus, its possible transmission to Europe and the Jesuit conduit (fent clic podreu veure els resums de les conferències d'aquesta Setena Trobada).

Formats i proporcions: el DNI

El document nacional d'identitat (DNI) es va crear arran d'un decret del franquisme de 1944, però no es va començar a expedir fins el 1951 (com a curiositat diré que n'hi havia de quatre categories segons la situació econòmica del sol·licitant!). Amb anterioritat han existit a l'Estat documents d'identificació diversos, però la obligació de posseir-ne un, va arribar bastant més tard del 1951 (deu ser pel mateix motiu que a Espanya no hi ha monuments al Soldat Desconegut, aquí ens coneixem tots!). Podeu veure imatges dels diferents documents que han existit en el següent pdf elaborat pel Ministerio del Interior (Imágenes_dni_histórico) i una mica d'història en un article de la revista Dintel (El DNI: Orígenes y antecedentes). Navegant o surfejant es troba força informació sobre aspectes històrics, anecdòtics i numèrics del DNI: com s'assigna la lletra a cada nombre del DNI (es fa a partir de dividir el nombre per 23 i calcular-ne el residu, n'haurem de parlar), que els nombres més baixos corresponen a DNIs que s'han atorgat més d'una vegada (els DNIs del morts, una llegenda urbana!), que en el document hi ha un nombre que correspon al nombre de persones que es diuen igual que nosaltres (una altra llegenda poc imaginativa), etc. Si en canvi, cerquem informació sobre les proporcions dels diferents formats de DNI no trobem la mateixa diversitat i abundància de fonts. Sembla que bàsicament han existit dos formats, tot i que hi ha hagut molts més canvis en la informació que en cada moment si ha fet constar: un format "gran" (en un diari de 1947 ja he trobat que parlava de 11 cm x 7 cm) i un format "petit" posterior que és el dels carnets actuals, siguin electrònics o no, i que correspon exactament a les dimensions de les targetes de crèdit de les quals ja n'hem parlat (El mite del nombre d'or).

Els que ja tenim més d'una edat hem pogut veure la nostra fotografia en un carnet dels de format gran i color blau (amb el consol  de la frase: ningú no és tan lleig com a la seva foto del carnet). Per als més joves, l'aspecte de la cara anterior del document era aquesta:

A l'esquerra hi anava la foto amb una empremta digital intercalada i en el requadre de la dreta una altra empremta digital. Ja hem dit que les dimensions en centímetres eren enteres 11 cm x 7 cm i d'això en resulta una raó de proporcionalitat de 11 ÷ 7 = 1,571428571428... ben allunyada del nombre auri. Però aquestes dimensions són amb la coberta de plàstic! he mesurat el document en si, sense el folre, i la constant de proporcionalitat que en resulta és 1,615... Algú del Ministerio va fer esforços per introduir la proporcionalitat àuria al document? (una de les moltes teories conspiratives) .

A partir del 1990 el document minva en les seves dimensions:

A part de comprovar que Leonardo era espanyol, podeu veure que, qui ha fet les mesures, les ha arrodonit (superposeu a casa el DNI amb una targeta de crèdit i veureu que coincideixen).

Amb el programa de geometria dinàmica GeoGebra i una mica de paciència (d'aquella que es té quan no hi ha massa feina) em vaig proposar el següent exercici: com s'han de modificar les dimensions d'un DNI actual per convertir-lo en un rectangle auri? I els resultats són aquests (si hi feu clic, ho veureu amb més detall):

Figura 1 Hi afegim un rectangle vertical

Figura 2 Retallem un rectangle horitzontal

Cal indicar que la principal lliçó pràctica que en podem extreure és la utilitat dels programes informàtics de geometria dinàmica. Les longituds dels segments i operacions que hi apareixen han estan calculats pel mateix programa (amb una aproximació de dos decimals que m'ha semblat suficient i amb el centímetre com a unitat de longitud). En la figura1, he mantingut l'altura del rectangle i la franja vermella és el rectangle vertical que hi hauríem d'afegir per aconseguir, amb una aproximació suficient, un rectangle auri. En la figura 2, mantenint la longitud de la base del document, hauríem de retallar per la línia DE per aconseguir la divina proporció.

Algú podria dir que ni falta ni sobra massa per aconseguir rectangles auris, però evidentment qui ha decidit aquest format o el de les targetes de crèdit no tenia pas el nombre auri al cap. Sí que hem vist que en els formats DIN dels fulls, hi estava directament implicada l'arrel de dos (Formats i proporcions: l'arrel de dos versus el nombre auri). La clau està en respondre a la pregunta: quina proporcionalitat o quina idea hi ha darrera dels formats dels DNIs actuals i de les targetes de crèdit?