Falses demostracions: som competents utilitzant l'àlgebra?

Una coneguda anècdota, no sabem si certa o inventada i amb diverses variants, explica que algú li va preguntar al filòsof i matemàtic Bertrand Russell (veieu també Bertrand Russell a MacTutor) si, a partir d'una falsedat com 2 + 2 = 5, podia demostrar qualsevol cosa. Sir Russell, segons aquesta història, va provar, amb 2 + 2 = 5 com a premissa, que ell era el Papa de Roma (demostració de la "Papabilitat" de Russell). Aquest article tracta de demostracions matemàtiques falses i de la falsa seguretat que tenen molt estudiants utilitzant l'àlgebra. Cal, per començar, un aclariment semàntic: la paraula àlgebra i els seus derivats han esdevingut tan polisèmics (àlgebra abstracta, àlgebra lineal, topologia algebraica...) que haurem de començar dient que aquí tractarem de l'àlgebra elemental (de l'àlgebra d'Al-Khwarízmi, si voleu).

Per molt que els professors de secundària s'esforcin en explicar els fonaments del llenguatge i les equacions algebraiques, els alumnes, i els científics!, acaben aplicant allò de "si està sumant, passa restant" i "si està multiplicant, passa dividint" (com si els termes de les equacions tinguessin la imperiosa necessitat, pròpia dels ciutadans dels països desenvolupats, d'anar de viatge). Fins i tot, operant de maneres més ortodoxes hi ha perills evidents. Comproveu-ho amb la següent demostració de 1 = 2 o de 2 = 1 (si apliquem la propietat commutativa, o és la reflexiva?):

Trobar l'equivocació, no us hauria de costar: és la més comuna en les demostracions algebraiques errònies.

En el següent exemple, l'origen de la falsedat és més subtil. Demostrarem que π = 3:

Podeu veure l'exemple anterior en la seva salsa digital original (aquí) o primigènia (allà). Si us ha cridat l'atenció l'encapçalament de la imatge anterior, 1 Kings 7:23, fa referència al versicle del bíblic 1r Llibre dels Reis que, de vegades, s'utilitza per afirmar que els antics hebreus creien que π era igual a 3. Aquesta polèmica és divertida perquè enfronta encesos fonamentalistes bíblics amb encesos ateus recalcitrants (amb més d'un matemàtic irònic que en parla de passada), podeu consultar:

• La peor aproximación histórica de Pi de Javier Vidal Postigo
• Aproximación de Pi en la Bíblia a Gaussianos 

Us estalvio les fonts més fonamentalistes, però pareu atenció als comentaris dels enllaços.

Tornant a les dues falses demostracions, no podreu dir que sabeu àlgebra elemental si no hi detecteu cap pas erroni. Penseu que en d'altres camps de les matemàtiques, localitzar les falsedats es fa més difícil. Consulteu, per exemple, la demostració de π = 4 que he conegut gràcies, una altra vegada, a un article de Gaussianos.