dilluns, 18 de febrer de 2013

Les beques CiMs-CELLEX i una demostració trivial


Des del curs passat, la fundació privada CELLEX, presidida pel químic i empresari Pere Mir (si en desconeixeu l'obra, podeu llegir "Mecenas en el hospital" i Mecenes per a la Ciència), ofereix el Programa CiMs-CELLEX que atorga una beca a 24 alumnes de secundària de Catalunya que els permet cursar un Batxillerat Internacional en Ciències i Tecnologia en el centre Aula Escola Europea (Barcelona) o en l'Institut Jaume Vicens Vives (Girona). Em sembla un projecte interessant ja que, a part d'oferir un batxillerat 'avançat' en ciències i matemàtiques per a estudiants que el poden, i volen, aprofitar, inclou estades d'estiu en centres de recerca. El diari La Vanguardia va publicar, el 13 de gener d'enguany, la notícia "Aventureros matemáticos" on es parlava del lliurament de les beques als alumnes del curs actual i de la convocatòria del procés de selecció per al curs vinent. TV3 també es va fer ressó de la notícia, ho podeu comprovar en el vídeo Beques a l'excel·lència.

Si heu fet clic en el darrer enllaç i heu vist el vídeo, permeteu-me una digressió. Quan he passat aquestes imatges en alguna de les meves classes, passant diverses vegades per l'entrada del professor a l'aula (només per provocar), alguns alumnes m'han dit "Que vols que ens aixequem quan entris?". Evidentment, no crec que aquesta qüestió formal sigui important, però el rerefons és un altre. Tal com va indicar un professor de secundària en una carta al director —crec que en La Vanguàrdia (en una polèmica, a propòsit del tractament de vostè, l'aixecar-se al començament de les sessions de classe, etc.), però no he pogut trobar la referència—, és impossible que els alumnes es posin dempeus perquè per fer-ho, haurien d'estar asseguts i atents a l'entrada d'algú, i això no acostuma a passar.

Tornem al tema principal! Si sou alumnes de 4t d'ESO i voleu optar a alguna d'aquestes escasses beques, encara hi sou a temps! Us podeu inscriure, de fet ho han de fer els vostres pares, fins el 24 de febrer. Compte, però, que sembla que les proves són exigents —no podria ser d'una altra manera. Una alumna de batxillerat que va partipar en el procés de l'any passat, recordava que li van demanar la següent demostració:



Els nombres imparells i els múltiples de vuit

Demostreu que, si al quadrat de qualsevol nombre imparell li restem 1, el nombre resultant és múltiple de vuit.

Demostració (28 de febrer de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Com que ja han passat deu dies des de la publicació de l'entrada, procedeixo a donar la demostració.

Els nombres imparells es poden indicar, algèbricament, de la següent manera: 2n + 1, amb n = 0, 1, 2, 3...

Els múltiples de 8 prenen la forma 8k, amb k = 0, 1, 2, 3...

(1) Volem demostrar que (2n + 1)2 – 1 =  8k

(2) Desenvolupem el quadrat: 4n2 + 4n + 1 1 = 8k

(3) Dividim l'expressió resultant per 4: n2 + n  = 2k

(4) Traiem n factor comú, en el primer membre: n · (n + 1) = 2k

La majoria d'alumnes de secundària es queden "enganxats" en aquest darrer pas i, de fet, no cal fer cap més operació! Només hem de raonar!

Si la igualtat (4) és una identitat (és a dir, és certa per a qualsevol valor de n), com que totes les igualtats són equivalents (un matemàtic les podria enllaçar amb el símbol ⇔), podem tornar cap amunt, anar de (4) a (1), i, per tant, (1) també serà certa per a tot valor de n.

I és evident que (4) és una identitat! n · (n + 1) és el producte de dos nombres consecutius (el primer ha de ser parell i l'altre senar o a l'inrevés) i 2k és un nombre parell. L'expressió (4) ens indica, ni més ni menys, que el producte de dos nombres consecutius és un nombre parell. Com que això és cert sempre, (1) també ha de ser-ho, quod erat demonstrandum
.

Una altra demostració (29 de juliol de 2013) (+/- Mostra/Oculta)

Podeu llegir una altra demostració en un dels comentaris d'aquesta entrada. Me l'ha enviat un tal Ferdinand, amb data 29 de juliol, i la trobo senzilla i elegant. Com que és possible que en l'apartat de comentaris us passi desapercebuda, la incloc, amb data 3 d'octubre de 2013, en el cos de l'article.

(1) Desenvolupem l'expressió (2n + 1)2 – 1:

(2n + 1)2 – 1 = 4n2 + 4n + 1 1  =  4n2 + 4n = 4n · (n + 1)

(2) Tal com explica Ferdinand, procedim a la distinció de casos:

  • Si n és parell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4n ho és).
  • Si n és imparell, 4n · (n + 1) és múltiple de 8 (4 (n + 1) ho és).

I de nou, quod erat demonstrandum!
   



A mi, la demostració em sembla senzilla, quasi trivial. Però, quan em vaig parar a pensar amb més deteniment, em vaig adonar d'una mena d'estafa continuada de l'educació matemàtica a secundària: la majoria dels nostres adolescents no s'han hagut d'enfrontar a classe amb una pregunta semblant. Fem matemàtiques, però no els deixem gaudir del mètode matemàtic, ni en el seu nivell més senzill. He proposat aquesta qüestió a alumnes de 4t d'ESO i la primera reacció és de sorpresa. Ho hem de demostrar per a TOTS els nombres imparells! Després alguns són çapaços d'avançar-hi força, utilitzant el llenguatge algèbric, però incapaços d'arribar al final perquè se'ls escapa una evidència que tenen davant del nas.

Com que no us vull privar, almenys, de l'intent, deixaré passar uns dies abans de donar-vos una demostració. M'agradaria rebre comentaris d'aquells que ho aconsegueixen o es troben en un atzucac. Si us plau, no sigueu massa explícits i no expliqueu detalls importants del vostre mètode.

Nota bene: El temari d'enguany en la prova de selecció d'aquestes beques sembla que es restringeix al temari oficial de l'ESO (ho podeu veure en el web CiMs- CELLEX en l'apartat temari). Segurament això voldria indicar que quedarien descartades qüestions semblants a aquesta que us he proposat.

30 comentaris:

  1. Jo diria:
    a^2 (quan a = nombre senar) = x (x = múltiple de 8, indicant el 8 amb un puntet a sobre)

    ResponElimina
  2. ostras, perdona! ara que ho miro no és correcte!!
    seria:
    a^2 - 1 = x
    ("a" és un nombre senar) ("x" és un múltiple de 8, posant directament un 8 amb un puntet a sobre)

    ResponElimina
  3. Ai, anònim (mira que m'agrada dirigir-me a les persones pel seu nom i ara la majoria es posen una "careta anònima")! Això no et portarà enlloc! Vols dir que no ens prens el pèl? L'única cosa que has aconseguit es "telegrafiar" l'enunciat de manera més reduïda i simbòlica.

    I si proves d'indicar el nombre senar com "2n + 1" i el fet de ser múltiple de 8, com "8k"? Evidentment, n i k pertanyen al conjunt dels nombres naturals. Ah, i compte amb l'identitat notable i no caiguis en la temptació de solucionar una equació de segon grau!

    ResponElimina
  4. I que vols dir, que la solució seria:
    (2n + 1)^2=8k?

    ResponElimina
  5. No, no i no! (2n + 1)^2 - 1 = 8k és només el començament de la demostració (no estem cercant cap solució). Com que veig que continues sent anònim, no entens què és una demostració, escrius sense pensar i et penses que això és el Twitter, dedueixo que tens menys de 20 anys! Tot sigui dit de "bon rotllo" i des de l'agraïment d'un blocaire que té menys comentaristes que els poemes de José María Pemán... I si ens ho pensem bé, abans de teclejar! De totes maneres, persisteix i no et preocupis que ja inclouré la demostració en l'entrada.

    ResponElimina
    Respostes
    1. No sabia que et molestés tant que publiqués amb anònim. Em dic Marta i m'estic preparant per les proves dels CiMs-Cellex, i, per tant, sí que tinc menys de 20 anys. Ja sé que això no és Twitter però no creia que fos tan important posar el teu nom en bloc de matemàtiques.
      Tot i així tampoc considero tan greu la meva errada. Continuaré mirant el blog per la solució.
      Per cert, bon bloc!;)

      Elimina
    2. (2n+1)^2 - 1 = 4n^2 + 4n + 1 - 1 = 4n^2 + 4n = 4n( n + 1 )
      ara, si n és parell, 4n( n + 1 ) és multiple de 8
      si n és senar, n + 1 és parell, i 4n( n + 1 ) és multiple de 8

      ferdinand

      Elimina
    3. Gràcies Ferdinand per la teva demostració més simple (i per tant, més elegant!).

      Ah! i felicitats pel (probable) pseudònim o per l'(improbable) nom: en la història de les matemàtiques ja tenim a Ferdinand Georg Frobenius, August Ferdinand Moebius, Georg Ferdinand Cantor... entre d'altres!

      Elimina
  6. Ui, ui! No em molesten "tant" els anònims, però m'agrada que les persones s'identifiquin, si més no, per cortesia i perquè, si no, tots sou anònims. Ara que ja sé que et dius Marta i estàs preparant les proves, deixa'm que et comenti algunes coses:

    1. Si llegeixes la nota bene de l'entrada, veuràs que en el temari de les beques (en l'escrit dono l'enllaç) no consta que, aquest any, et puguin demanar demostracions com aquesta. Sembla que es centraran en el temari de l'ESO. Per tant, jo no m'hi capficaria gaire.

    2. Sí que és una errada greu pensar que una demostració consisteix en traduir un enunciat al llenguatge algèbric. De totes maneres, ja he escrit que aquesta dificultat dels alumnes és la conseqüència que en el currículum no es dóna cap importància a les demostracions més formals.

    3. Més pistes per a la demostració (si hi persisteixes): desenvolupa la identitat notable, simplifica, treu n factor comú i... para't a pensar.

    4. Quan facis les proves, encara que no arribis al final en algun exercici, deixa constància per escrit dels passos i raonaments que has fet. I sobretot, tranquil·litat, confiança i concentració.

    5. Si, com espero, arribes a la fase de l'entrevista, segurament voldran comprovar el teu nivell d'anglès i la teva motivació. Si coneixes algú que es va presentar el curs passat, et podrà orientar.

    Tant de bo que continuïs, anònima o no, sent lectora del bloc. Apa, sort! I si et puc ajudar, escriu-m'ho.

    ResponElimina
  7. Francesc Rovira Garrell28 de febrer de 2013 a les 11:47

    (tema)

    No voy de la gloria en pos,
    ni torpe ambición me afana,
    y al nacer cada mañana,
    solo le pido a Dios:
    casa limpia en que albergar,
    pan tierno para comer,
    un BLOG para leer,
    o, si se tercia, despotricar.


    (variació)

    El gozo del mundo se entra
    dentro de mi corazón.
    ¡Estrecho gozo el que cabe
    en tan estrecha mansión!.

    El gozo que entra en nosotros:
    gozo es de mal gozador.

    Quiero un gozo que me envuelva
    porque él me sea mayor.

    ¿Qué gozo será el que traiga
    tanta anchura y tanto sol?.

    Paco le dijo al internauta fiel:
    “Entra en el gozo de mi BLOG”…

    ¡No gozos que entren en mí:
    quiero un gozo en que entre yo!.


    (Ja em perdonareu, però no he estat jo qui ha citat el nom de cap poeta gadità conseller del Movimiento)

    ResponElimina
  8. Aquí me pongo a cantar
    Al compás de la vigüela,
    Que el hombre que lo desvela
    Una pena estrodinaria,
    Como la ave solitaria,
    Con el cantar se consuela.

    (...)

    Que no se trabe mi lengua
    Ni me falte la palabra.
    El cantar mi gloria labra,
    Y poniéndome a cantar,
    Cantando me han de encontrar
    Aunque la tierra se abra.


    No sé si et perdonarem! Vaig citar d'esquitllada a Don José María Pemán i tu ens castigues amb una versió adaptada de Elogio de la vida sencilla (si cliqueu en l'enllaç anterior, podreu gaudir de la versió original amb una música insuportable). Pels versos amb els quals he començat, hauràs comprovat que jo sóc més de Martín Fierro, sense arribar a les ganivetades, de moment.

    Et trobàvem a faltar, però si l'altra comentarista d'aquesta entrada no s'ha espantat prou, entre tots dos ho acabem d'aconseguir. Signar amb els dos cognoms és una ironia de les teves?

    Ja tinc present que et dec una entrada sobre dimensions, però ara mateix estic embolicat amb una corda de setze dimensions! Per cert, has intentat fer la demostració que proposo o només agafes la llibreta per escriure versets manllevats?

    ResponElimina
  9. tot numero imparell al quadrat menys 1 es multiple de 8, sempre igual aquest numero imparell sigui superior de l'arrel quadrada de 1.75. Correcte?
    Em dic Pep i també em preparo per les proves

    ResponElimina
  10. Pep, quan parlem de parell o imparell sempre ens referim a nombres enters. No sé d'on surt aquesta arrel quadrada (espero que no hagis fet cap equació de segon grau), però si agafem l'1, que és menor que l'arrel que proposes, elevat al quadrat i restant-li 1, ens dóna 0 (que en un sentit ampli és múltiple de vuit). A més, la propietat és vàlida per a tots els imparells negatius (-1, -3, -5...) que són menors que l'arrel que assenyales!

    ResponElimina
  11. Hola, bones,
    seguint aquesta demostració, els nombres parells com s'indicarien, "2n"?

    Moltes gràcies!

    ResponElimina
  12. Sí, Laia. Evidenment "n" ha de ser un nombre enter. Això s'acostuma a explicar en les introduccions a l'àlgebra elemental; tot i que, en lloc de n, s'acostuma a utilitzar la lletra x. Així "2x + 1" representaria un nombre imparell i "2x", un nombre parell.

    El llenguatge algèbric ens pot facilitar moltes demostracions. Per exemple, si en una demostració ens parlen de tres nombres parells consecutius, els puc indicar com "2n", "2n + 2" i "2n + 4".

    ResponElimina
  13. Ostras, moltes gràcies!
    Una última qüestió (sento ser tan pesada!) saps si les proves del CiMs-cellex són tipus cangur (enginy, lògica...) o més aviat sistemàtica i exercicis tipus ESO però amb nivell més elevat?

    Moltes mercès de nou!

    ResponElimina
  14. Si et llegeixes amb atenció aquesta entrada i els comentaris, veuràs que ja he comentat tot allò que sé o intueixo de les proves. Mira't l'ultim paràgraf, la nota bene de l'escrit, on hi ha un enllaç al temari que dóna la mateixa fundació, i el setè comentari on dono alguns consells. Tinc la impressió que enguany es centraran més en el temari de matemàtiques i física de l'ESO, però... Ja he comentat que també ha de ser molt important l'entrevista que us faran.

    Quan hagueu acabat les proves, i per a futurs aspirants en posteriors edicions, m'aniria bé que em comentéssiu com us anat i quin tipus de preguntes us han fet.

    Sort i aprofiteu l'experiència!

    ResponElimina
  15. Hola, Acabo de fer l'examen del cellex. Ara estava buscant coses per internet i m'he trobat aques blog, que per cert, es molt bo!!

    jo he trobat una manera de demostraro una mica origuinal i molt intuitiu (ho he fet per n=9, encara que es por fer de forma analoga amb qualsevol n.

    com que una imatge val mes que mil paraules....

    ResponElimina
  16. Hola Eloi i gràcies per l'elogi!

    Suposo que has volgut inserir alguna imatge en el teu comentari i no te n'has sortit. De fet per permetre que els comentaris vagin acompanyats d'imatges em sembla que haig de modificar la plantilla del blog —i ara mateix vaig escàs de temps— o tu l'has de tenir allotjada en el núvol i enviar la corresponent URL.

    Això de n = 9 em sona a demostració pel mètode d'inducció i els matemàtics no estan tranquils si no ho demostren per a n + 1, una vegada han comprovat que es compleix per a n = 1 i suposen que es compleix per a n ( Demostració per inducció).

    Si en lloc de la imatge, ens vols enviar les paraules (no crec que arribin a mil!)...

    Prometo que de seguida que pugui, em poso a treballar per tal que pugueu acompanyar els comentaris amb imatges.

    Per cert, què tal han estat les proves?

    ResponElimina
  17. ho sento ^^ esta aquesta imatge http://subir.cc/images/problemaci.png

    es tracta de "dibuixar una graella de (2n+1) per (2n+1) quadradets. llavors queda un quadrat al mig. podem dividir el "quadrat foradat" foradat en 4 rectangles de mida (n) per (n+1) i aquests es poden descomposar en 2 triangles.

    jo estic bastant acostumat a demostrar coses ja que estic ficat en el món de les olimpiades matemàtiques :) i tot això no es gens nou per a mi. de totes maneres reconec que aquesta demostració tot i ser bona en idea, està molt mal explicada xd
    Quina bona idea... no se m'havia acudit recórrer a la inducció per aquest problema... (tot i que era tan cridaner!)

    en definitiva que un nombre senar al elevar-lo al quadrat no només dona un múltiple de vuit mes 1, sinó que aquest nombre és 8 vegades un nombre triangular +1.

    la prova en general m'ha anat prou bé, la prova tipo test era molt fàcil i crec (i espero) haver-ho fet tot bé. La de matemàtiques era més difícil del que creia, un amic va dir-me que el problema més difícil era aquest i vaig resoldre'l de dues maneres diferents (la del dibuix i la d'aritmètica modular). en canvi aquest any et demanaven problemes més difícils, tot i que no tant, però el temps juga males passades i una hora i mitja va semblar-me poc :) faig fer 2 problemes sencers i dos meitats. els altres 2 no els vaig resoldra :( . la de física era fàcil i hem va anar millor que la de mates (tot i que jo anava amb la impressió que seria del revés). vaig fer-los tots menys 1 i un altre que vaig equivocar-me i la de llengua vaig omplir-ho tot però inventant-me la meitat.

    si hi ha algú més que les hagui fet, estic intrigat per conèixer el vostre punt de vista :)

    ResponElimina
  18. A mi se'm donen millor les demostracions més analítiques o algèbriques que les més visuals o geomètriques com la que proposes. La teva em sembla molt interessant, però la que dono en l'entrada em sembla més senzilla d'entendre i general. Em queda el dubte de si l'has llegit: en el text de l'article, on diu, en vermell, Demostració (28 de febrer de 2013 fes clic en Mostra/Oculta i s'obrirà.

    Encara no he parlat de la prova amb cap participant, però sí que m'ha arribat que la prova de física era més fàcil que la de matemàtiques. A veure, si algú més s'anima a comentar-la aquí.

    M'alegra saber que estàs interessat en les "matemàtiques olímpiques". En aquest blog, hi ha un parell d'entrades que en parlen!

    Gràcies pel comentari i sort en el procés de selecció.

    ResponElimina
  19. A mi en general també, realment se m'acudeixen poques "idees felices" com aquesta... si, si que l'he vista, però quan el vaig resoldre, jo ni coneixia el blog i va ser la demostració més rapida que se'm va acudir.
    Si en parles amb algú més, comunica-ho, que també m'agradaria saber la seva opinió!!

    Si, m'interessen molt les matemàtiques!! assisteixo a classes de preparació a la UPC i actualment m'estic preparant per la fase espanyola.

    Ja he vist els dos articles, que tot i que em semblen molt bàsics, també els trobo molt interessant. :)

    Moltes gràcies!!

    ResponElimina
  20. Algu em podria dir en que consisteix l'entrevista personal? En 30 minuts es faran una idea de qui es mes treballador, de qui esta mes motivat?

    Una mare preocupada.

    ResponElimina
  21. Hola Nathalie! No tinc cap relació amb la Fundació CELLEX, més enllà de que, com a professor de matemàtiques de secundària, conec alguns alumnes del meu centre que es van presentar l'any passat o s'han presentat aquest any a les proves de selecció. La meva informació, per tant, és escassa i esbiaixada.

    La setmana passada una alumna em va comentar alguna de les preguntes de l'examen de matemàtiques (ja les comentaré amb més detall en una entrada) i la meva impressió és que no corresponen al temari d'ESO. Això no seria cap problema si la Fundació, de la qual cal alabar la seva feina, tingués una mica més de transparència i de concreció a l'hora de comunicar els continguts de les proves.

    De l'entrevista l'única cosa que sé, i perquè m'ho va comunicar un candidat del curs passat, és que, almenys una part, es desenvolupa en anglès. No en sabia la durada i entenc la teva preocupació, però si hi dediquen trenta minuts per estudiant, ja em sembla una entrevista "llarga". Evidentment, es poden equivocar i descartar un bon candidat, però després de tot el procés, dubto que s'equivoquin acceptant una persona poc preparada. La logística i el temps manen i comprenc que fer una selecció deu ser força complicat, encara que segur que és millorable. Per altra banda, i no ho dic a tall de disculpa, en el país tenim d'altres processos de selecció, i aquests sí totalment regits per l'administració pública, molt més discutibles.

    Per acabar, deixem dir que evitaríem aquestes angoixes si l'atenció a la diversitat dels alumnes s'entengués en els dos sentits i hi haguessin més iniciatives per atendre el bon rendiment escolar i l'excel·lència (encara em renyaran per utilitzar aquesta darrera paraula!).

    ResponElimina
  22. Hola Francesc moltes gràcies per respondre tan aviat. Quan vaig proposar-li al meu fill que es presentés a les proves vaig pensar que era una oportunitat per ell. Sempre li ha agradat tot el que fa referencia a les ciències, i amb mates sempre ha sigut molt bo. No es va preparar massa per la prova pero els seus profes de matematiques em van dir que estava preparat i que era millor anar tranquil. Quan va acabar l'examen jo no parava de preguntar-li com li havia anat i ell pobre estava egotat perquè va ser llarg. Segons sembla les mates van ser dificils pero ell va fer 4 exercicics complerts i 1 a mitges. La fisica noli va anar tan bé perquè hi ha coses que no havia fet encara. En general ell estava content, com satisfet, a mi els examens em posen nerviosa però ell sembla que disfruti. Estava una mica inquiet quan el van cridar. Ell el va fer a Barcelona, no se quants nenes hi havia però hi havia moltes clases. Sé que el meu fill es bo amb ciencies pero tb se que es una mica lent, es pren el seu temps. I se que hi ha nens molt intel.ligents.
    Creus que els exercicis de mates eren d'un nivell més alt que ESO? Ell va trobar mes dificil la fisica pero mes que res pq en 2 exercicis no havia donat la materia.
    Quan vaig posar el seu codi i va sortir que estava preseleciionat em vaig emocionar molt. I ara estic més nerviosa que ell. Crec que no s'ho creu que hagi passat a la següent fase. La pega es que l'entrevista li ha tocat a Girona i som de Tarragona. No sé si té a veure la nota que hagi tret. Bé tot són elocubracions i els de ciències no us agrada fer suposicions.
    Estic orgullosa d'ell i el fet que hagi arribat a l'entrevista es molt important per ell, tot sòn experiències.
    Si parleu dels exercicis ja li diré que comenti també perquè jo de mates fatal....

    ResponElimina
  23. Gracies per contesta-me tan aviat. Havia fet un missatge molt llarg i no se perque no s'ha publicat. Espero que vagi be l'entrevista perquè crec que es una bona oportunitat pel meu fill. Per mi es un orgull que hagi arribat fins aquí i per ell és una eeriencia. Cada any participa a les pim del seu institut, aixi va comença a endinsar-se a aquest món. L'any passat es va presentar a les cangur. Va ser divertit perque tot il.lusionat em diu "mama, he tret el 144" i jo li vaig fer una cara... I ell em va dir saps quanta gent s'ha presentat? Clar aixi es un bon numero vaig pensar. Crec que si fos mes rapid podria treure millor numero. Però ell no s'amarga, ell va a passar-s'ho bé. Aquest any diu que no li ha anat bé perqué venien del viatge de final de curs i estava molt cansat.
    Espero que ara si es publiqui el meu comentari.

    ResponElimina
  24. Hola de nou!

    Els missatges no es publiquen automàticament: cal que jo doni el vistiplau. No és una censura prèvia, la majoria de blogs ho apliquen, sinó l'única manera d'evitar missatges indesitjats. Suposo que ja has vist que ara surten tots els teus comentaris, disculpa les molèsties.

    Espero que el teu fill tingui sort en el procés de selecció, però, si li agraden les matemàtiques i les ciències, hi ha d'altres camins, no tan excepcionals i més habituals, que també hi porten.

    Les poques referències que m'havien arribat dels exàmens eren que el de matemàtiques era més complicat, però com que els continguts que s'inclouen en la prova de física són els de tota l'ESO, passa això que dius: hi ha molts alumnes que encara no han sentit parlar de bona part del temari.

    En quant al Cangur, conforme s'avança en el nivell, es torna més complicat i les puntuacions es van allunyant dels 150 punts possibles. Per exemple, en el Cangur 2012 van haver-hi dos alumnes del 1r nivell (3r d'ESO) amb la màxima puntuació possible, 150 punts, i en canvi el guanyador del 4t nivell (2n de Batxillerat) en va treure 124,75. Enguany, a més, la data escollida per celebrar-lo era complicada: s'ajuntaven viatges, sortides, crèdits de síntesi i projectes de recerca!

    ResponElimina
  25. Al final el teu fill va entrar ? Al meu fill aquest any ha estat preseleccionat i voldras saber com era l entrevista i si va optar a la beca si estava content i li va anar be

    ResponElimina
  26. Hola Anònim,

    He publicat el teu missatge que entenc que va dirigit a la Nathalie; però, per la naturalesa dels blogs, dubto que el llegeixi si no es torna a passar per aquí. Com que els comentaris no estan vinculats a l'adreça de correu dels comentaristes, tampoc et puc proporcionar el contacte.

    Em consta que aquestes darreres setmanes força persones han intentat cercar informació sobre les Beques a través d'aquest blog, que no és més que una bitàcola, bastant desatesa, d'un professor de matemàtiques amb unes certes inquietuds per la divulgació d'aquesta matèria. Em preocupa, i així ho he comentat, que l'organització d'aquestes meritòries beques tingui un xic oblidats els seu demandants i les seves famílies: ni el temari de preparació està ben detallat, ni les proves es fan públiques... i desconec el tipus d'entrevista que fan als preseleccionats.

    Em sap greu no poder-vos donar més informació.

    De totes maneres, deixeu-me que us desitgi molta sort!

    ResponElimina
  27. Bones, jo he tret el meu propi plantejament, que al consultar les desmostracions que has penjat el meu és un pél enrrebuscat tot i que ve a dir el mateix, però l'explico per compartir-ho amb tú i tots els visitants:

    Qualsevol nº imparell (2n + 1) te 2 nº parelles veïns, és a dir, [(2n + 1) + 1 ] (sempre un nº parell) i [(2n + 1) - 1 ] (també nº parell).
    Per tant aquests nombres veïns si es factoritzen podem veure que tindran 2^1 (Com a mínim) i 2^2 (també com a mïnim), un clar exemple seria el 3: (2 Factoritzat = 2^1 i 4 Factoritzat = 2^2) Per tant els nº veïns de un nombre imparell si es mutipliquen SEMPRE com a mínim obtindrem a la seva factorització 2^3=8, per tant sera multiple de 8.
    Cal esmentar que [ (2n + 1) + 1 (2n + 1) - 1 = (2n + 1)^2 - 1]

    Podem substituir per conmprovar-ho (n=3) per posar-ho més fàcil

    (3 + 1) (3 - 1) = 3^2 - 1 i veiem que 4 * 2 = 9 - 1

    (n=11) per posar-ho "més díficil"

    (11 + 1)(11-1) = 11^2 - 1 = 10 * 12 = (2 * 5)(2^2 * 3) = 2^3*5*3 = [8] * 3 * 5

    Doncs formulem que:

    (2n + 1)^2 - 1 = 8k = (2^1 + 2^2)k

    Lamento no haver-me explicat millor però no estic acostumat a explicarme sense paper!

    Néstor

    ResponElimina