El Teorema (o axioma) del punt gros

 
He dedicat unes quantes entrades a les diferents geometries (vegeu, per exemple, I les altres geometries?) i, en algun escrit, he apuntat alguna cosa sobre les dimensions superiors a tres (Més enllà de la tercera dimensió: l'hipercub (I)) amb la promesa de tornar-hi. Haig de dir que, en general, les geometries no euclidianes i les dimensions extres no acostumen a ser ben rebudes per les persones alienes al món de la matemàtica. En canvi, la geometria euclidiana s'accepta de manera immediata com si, tanmateix, fos una creació de Déu o una realitat irrefutable del nostre univers. Tothom creu saber què és un punt, una recta o un pla i troba que aquests conceptes són d'allò "més naturals". Euclides comença els seus Elements de geometria (Els Elements d'Euclides) amb una sèrie de definicions (un punt és allò que no té parts, una línia és una longitud sense amplada, els extrems d´una línia són punts, una recta és una línia que esdevé igual respecte de tots els seus punts, una superfície és allò que només té longitud i amplada, etc.) que ens poden semblar evidents  o, fins i tot, podem opinar que el pobre Euclides se les podia haver estalviat. Si ens parem a pensar, el salt d'un concepte a l'altre, més que evident, és màgic i ens hauria de generar un cert rebuig: un punt no té dimensions, però un conjunt de punts poden generar una recta que té una dimensió? si posem moltes rectes juntetes, una al costat de l'altra, obtenim una superfície de dues dimensions? D'on surten aquestes dimensions extres? És clar que l'objectiu d'aquestes observacions no és que renegueu de la utílissima geometria euclidiana i, a més, avanço que us hauríeu d'agafar aquest escrit amb una actitud reflexiva, però no massa seriosament.


El cinquè postulat

En el seu Llibre I, Euclides, després de 23 definicions, introdueix els seus cinc famosos postulats o axiomes (Postulats). De la negació del controvertit cinquè postulat, neixen les geometries no euclidianes. En el seu format original, degudament traduït al català, el cinquè postulat afirma que "Si una secant talla a dues rectes formant a un costat angles interiors la suma dels quals és menor que dos angles rectes; les dues rectes, suficientement allargades es tallen en el mateix costat".

El cinquè postulat d'Euclides expressat gràficament.
(La imatge ha estat extreta d'aquí )

En la imatge explicativa anterior, com que la suma dels angles m i n és menor de 180º (dos angles rectes), els segments AB i CD es tallen, si es prolonguen, per la dreta.

De fet, aquest postulat és més conegut en una versió diferent, però equivalent, a la que va donar Euclides: "Per un punt exterior a una recta es pot traçar una única recta paral·lela".

Versió artística i gràfica de l'enunciat alternatiu del 5è postulat.
(La fotografía és de Pepe E. Carretero i la podeu veure en el seu blog)

El Teorema del punt gros (TPG)

Hi ha una versió hispànica —només n'he trobat referències en castellà i algunes en català— que substitueix i contradiu aquest cinquè postulat, però és una proposició més intuïtiva i evident. Es coneix com el "Teorema del punto gordo", però seria més correcte dir-ne postulat o axioma. Com totes les grans veritats, admet més d'una formulació, a mi m'agrada aquesta:

Per un punt exterior a una recta passen diverses rectes paral·leles el nombre de les quals depèn del gruix del punt.

Teorema del punt gros. Pel punt P passen tres rectes paral·leles a la recta r... o més!

Alguns autors catalans, que prefereixen la traducció Teorema del punt gran, opten pel següent enunciat:

Dues rectes paral·leles es tallen en un punt, sempre que el punt sigui suficientment gran.

Aquesta imatge "provatòria" ha estat extreta d'aquí,
però la font original és Inciclopedia.

Fonemato, l'alter ego de Rafael Cabrejas, ha dedicat un imprescindible vídeo a aquest Teorema. Aprofito per recomanar-vos també la resta de vídeos d'aquest autor, aquests sí, útils i seriosos (però no tots gratuïts): vídeos de Fonemato.


Aplicacions del TPG en el Dibuix Tècnic

Com que sou lectors intel·ligents, ja fa estona que us haureu adonat de la presa de pèl: els punts grossos contradiuen la definició d'Euclides que afirma que els punts no tenen dimensions. El saberut Fonemato, al final del seu vídeo-broma, certifica la inexistència dels punt grossos. Però algú és capaç de dibuixar un punt sense dimensions? I si algú fos capaç de tal proesa, la resta de la humanitat, el podríem veure? Els físics que estan acostumats a simplificar les situacions i no s'immuten quan en un problema comencen amb "Suposant que la Terra és una massa puntual...", ho arreglarien ràpidament dient que les dimensions dels punts són negligibles..., però no ens enganyem, la física no és una ciència prou seriosa.

Sigui com sigui, els punts grossos tenen nombroses aplicacions: la majoria d'elles relacionades amb el dibuix tècnic. Els aprenents que comencen a practicar aquesta disciplina es troben sovint que, després d'una llarga construcció, després de traçar tangents, perpendiculars i paral·leles, el resultat no és el desitjat: una línia no passa, per poc, per un determinat punt perquè no han estat prou destres i acurats en els passos previs. Doncs bé, existeixen dues solucions per tal de no haver de repetir tot el procés: o fem el punt més gros o optem per una línia flàccida o peluda (algú s'atreveix a parlar de "rectes astutes"). Per la importància d'aquesta aplicació el gran Tito Eliatrón es refereix al TPG com a Teorema Fundamental del Dibujo Técnico. Consulteu també, si us plau, el Teorema del Punto Gordo y la Línea Flácida.

Cal dir que el TPG també s'ha aplicat en l'anàlisi d'algunes jugades de futbol, aquest esport pedestre, i que això ha donat lloc a algunes crítiques vehements (Riera, cuéntenos...).


Apunts lingüístics

Els traductors catalans es mostren dubitatius: cal traduir "gordo" com a gros, gran o gruixut? Si consultem l'autoritat pertinent, el DIEC, i anem a les definicions de gros,  gran i gruixut, ens pot semblar que "gros" no és la paraula adequada. Però "gordo", en castellà i en aquest cas, tampoc és lingüísticament escaient, si bé té un matís còmic que s'adiu al nostre teorema. Aquells que encara esteu per apreciar aquestes distincions i fugiu de comunicar-vos amb  rugits i brams fareu bé de consultar: Bricollengua o Racó Català. Jo m'he decidit per traduir "punt gros", però he estat temptat d'optar pel més càrnic i simpàtic "punt molsut".

Espero que no acabeu pensant que avui us he venut gat per llebre o, en una versió més suau, que he fet passar bou per bèstia grossa. Per cert, a aquesta darrera frase feta no li acabo de trobar el sentit: vol denotar un cert tipus d'engany, però no té un punt de tautologia? Els bous no pertanyen al conjunt de les bèsties grosses?