dijous, 30 de juliol de 2015

Recolzeu bé l'escala!


Si cada vegada és menys freqüent que t'assabentis dels acudits per la via boca-orella –deu ser pel predomini dels mitjans digitals o pel superàvit de monologuistes i graciosos professionals–, que et proposin oralment un problema o una qüestió matemàtica, encara és un fenomen més rar. Com que em dedico a la docència de les matemàtiques, i aquest és un vici difícil d'amagar, la probabilitat que em reptin amb algun problema o endevinalla d'aquesta matèria augmenta una mica; però, sovint, ja conec l'enunciat i la resposta. Aleshores, puc fer veure que me'l penso i l'encerto ràpidament, cosa que em permet mantenir la meva minsa reputació de saberut de ment àgil.

Quan la qüestió proposada –gràcies, Tere i Josep!– em ve de nou i, a més, resulta que és substanciosa, bé es mereix una entrada en el blog.  


Escales problemàtiques

Us podria presentar directament l'enunciat, però com que ens diuen que és imprescindible posar-ho tot en un context; i, si pot ser, en el context d'això que anomenen la vida quotidiana (vegeu-ne un exemple, de vida quotidiana), em faré pregar una mica. Us avanço que el nostre problema va d'una escala de mà. D'altres llengües distingeixen diferents tipus d'escala amb un sol mot (stairs, ladder... );  les pobres llengües romàniques hi tenen més dificultats i, fins i tot, cal que els intel·lectuals redactin precisos textos instructius per poder-les utilitzar: vegeu, per exemple,  les Instrucciones para subir una escalera  de Julio Cortázar (escric aquest text des de dalt de tot de l'escala, còmodament assegut en el replà, esperant que es publiquin les instruccions per tal de poder-ne baixar).

Des que Isaac Newton va inventar la gravetat, les escales, de qualsevol tipus, han esdevingut ginys perillosos i cal prendre curoses mesures de seguretat a l'hora d'utilitzar-les.

Mesures de seguretat laboral

En el món escolar, les escales repenjades en una paret són habituals en els problemes introductoris a la trigonometria i no poden faltar en qualsevol llistat d'exercicis de 2n cicle de l'ESO, tal com les escales no falten en les nostres cases (ja se sap que els mediterranis som baixets i amb abundosos deutes i no arribem a tot arreu).

Apa, calculeu l'angle α i l'alçada x! (Font)

Tot i les aparences formals, el problema que us proposaré no és, ni de lluny, tan trivial com aquest que apareix en la imatge anterior.


Uf, ara cerca-li un títol i classifica'l!

Sense entrar en controvèrsies nominalistes,  ja podem anar dient que el nom no fa la cosa! Per exemple, estic convençut que el problema de l'aniversari de la Cheryl no s'hagués difós tan ràpidament per la xarxa sense un títol identificatiu o amb un nom menys modern i exòtic (Cheryl).

De moment, el nostre repte està en pecat i sense batejar, i l'imperatiu Recolzeu bé l'escala! és un recurs fàcil que ja he utilitzar en d'altres ocasions (Problema: No us enfileu a la taula!).

Per la simplicitat del plantejament i el profund rerefons matemàtic que amaga, el Recolzeu bé l'escala! em recorda el problema de l'ovella en un prat circular (vegeu Ovelles, rigor i matemàtiques i L'ovella esgarriada... i retrobada). Així podríem dir que els dos problemes es poden resoldre per mètodes geomètrics, que entendre'ls no requereix grans coneixements de matemàtiques...


Recolzeu bé l'escala! L'enunciat

I després de donar algunes voltes, com els gossos abans d'estirar-se, anem al gra!



Tenim una escala de tres metres recolzada en una paret. En contacte amb el terra i la paret, tenim un cub d'un metre d'aresta que toca l'escala, tal com mostra la següent figura:

Un problema de recolzaments

Com ja heu pogut llegir, es tracta de calcular el punt de contacte de l'escala amb la paret i el punt de contacte amb el terra. És a dir, la longitud del segment OA i la longitud del segment OB.




Advertiments. ¿I la solució?

La qüestió es pot solucionar de forma aproximada, ja sigui utilitzant mètodes de dibuix tècnic o fent provatures amb programes com GeoGebra (o comprant una escala de tres metres i construint un cub d'un metre cúbic). Si voleu anar una mica més enllà, com bons matemàtics, cal trobar la solució exacta: això vol dir de manera analítica i amb radicals.

I com que aquesta solució (jo ja la tinc, però no sé si és única o la més elegant) bé val una nova entrada , no la donaré ara. Si us animeu a fer-me arribar els vostres dubtes, comentaris o solucions, seran benvinguts. Ho podeu fer via comentari en el blog o, com que és difícil d'implementar notació matemàtica en Blogger, també em podeu enviar qualsevol tipus de documents (de text, escanejats...) en el correu iaramatematiques@gmail.com. Si utilitzeu la mateixa notació per als punts clau que apareixen en el gràfic anterior, serà més fàcil compartir idees. Gràcies i poseu-vos a la fresca si el voleu solucionar!

2 comentaris:

  1. Hola i bon estiu! Gràcies per la pista del TR, va avançant bé. Entrant després de les vacances veig tres entrades noves... I el problema! m'hi he posat una estoneta i m'havia semblat estar arribant a la solució, però m'he topat amb una equació de quart grau amb PA com a x, i crec que no val la pena resoldre-la... (https://en.wikipedia.org/wiki/Quartic_function#General_formula_for_roots) Així que tornaré a començar!

    ResponElimina
    Respostes
    1. Hola de nou i espero que hagis passat unes bones vacances!

      Jo ara estic lluny de casa i escric amb un mini teclat que fa l'escriptura molt lenta i no em permet esplaiar-me gaire en aquesta primera resposta.

      Et vull indicar però que, de moment, l'única manera que veig de solucionar el problema és amb una equació de quart grau. Jo l'he resol així i és una de les gràcies que té!

      Elimina